リンデレフスペース

数学において、リンデレーフ空間^{[1] [2]}は、すべての開被覆が可算な部分被覆を持つ位相空間である。リンデレーフの性質は、有限部分被覆の存在を必要とする、より一般的に使用されるコンパクト性の概念を弱めたものである。

あ遺伝的リンデレーフ空間^[3]は、そのすべての部分空間がリンデレーフである位相空間です。このような空間は強くリンデレーフとが、紛らわしいことに、この用語はまったく異なる意味で使われることがあります。^[4]遺伝的リンデレーフという 用語はより一般的で明確です。

リンデレーフ空間は、フィンランドの 数学者 エルンスト・レナード・リンデレーフにちなんで名付けられました。

• あらゆるコンパクト空間、より一般的にはあらゆるσ-コンパクト空間はリンデレーフである。特に、あらゆる可算空間はリンデレーフである。
• リンデレーフ空間がコンパクトとなるのは、それが可算コンパクトとなる場合のみです。
• 第二可算空間はすべてリンデレフであるが^[5]、その逆は成り立たない。例えば、第二可算でないコンパクト空間は数多く存在する。
• 距離空間がリンデレーフであるための必要十分条件は、それが可分であることであり、それが第二可算であることである。^[6]
• すべての正規リンデレフ空間は正規である。^[7]
• 全ての正則リンデレフ空間はパラコンパクトである。^[8]
• 位相空間のリンデレーフ部分空間の可算な和はリンデレーフである。
• リンデレーフ空間の任意の閉部分空間はリンデレーフである。_[ ^9] 結果的に、リンデレーフ空間の任意のFσ集合はリンデレーフである。
• リンデレーフ空間の任意の部分空間はリンデレーフである必要はない。^[10]
• リンデレーフ空間の連続像はリンデレーフである。^[11]
• リンデレーフ空間とコンパクト空間の積はリンデレーフである。^[12]
• リンデレーフ空間とσ コンパクト空間の積はリンデレーフである。これは前の性質の系である。
• 2つのリンデレーフ空間の積はリンデレーフである必要はない。例えば、ソルゲンフライ直線は リンデレーフであるが、ソルゲンフライ平面はリンデレーフではない。^[13]${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times S}$
• リンデレーフ空間では、空でない部分集合のすべての局所有限族は、最大でも可算です。

• ある空間が遺伝的にリンデレーフであるのは、その空間のすべての開部分空間がリンデレーフである場合に限ります。^[14]
• 遺伝的にリンデレーフ空間は、可算な和集合、部分空間、連続像を取ることで閉じられます。
• 正規リンデレーフ空間が遺伝的にリンデレーフとなるのは、それが完全に正規である場合に限ります。^{[15] [16]}
• すべての第二可算空間は遺伝的にリンデレフです。
• すべての可算空間は遺伝的にリンデレフです。
• すべてのSuslin 空間は遺伝的に Lindelöf です。
• 遺伝的にリンデレフ空間上のすべてのラドン測定は緩和されます。

リンデレーフ空間の積は必ずしもリンデレーフとは限らない。この一般的な例は、半開区間位相における実数直線とそれ自身との積であるソルゲンフライ平面である。ソルゲンフライ平面の 開集合は、南と西の辺を含み、北と東の辺を除いた半開長方形の和集合であり、北西、北東、南東の角を含む。の対角線は、${\displaystyle \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x+y=0.}$

次のものから構成されるオープンカバーを検討してください。 ${\displaystyle \mathbb {S} }$

1. 対角線上にあるすべての長方形の集合。${\displaystyle (-\infty,x)\times (-\infty,y),}$${\displaystyle (x,y)}$
2. 対角線上にあるすべての長方形の集合。${\displaystyle [x,+\infty )\times [y,+\infty ),}$${\displaystyle (x,y)}$

ここで注目すべき点は、対角線上の各点は被覆のちょうど1つの集合に含まれるため、上記の項目(2)の集合(無数に存在する)がすべて必要となることです。

がリンデレーフでないことを確認する別の方法は、反対角線がの閉じた非可算な離散部分空間を定義することに注目することです。この部分空間はリンデレーフではないため、空間全体もリンデレーフにはなりません (リンデレーフ空間の閉じた部分空間もリンデレーフであるため)。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

次の定義は、コンパクトとリンデレーフの定義を一般化したものです。位相空間は、任意の基数に対して-コンパクト(または-リンデレーフ)であり、すべての開被覆により小さい基数の部分被覆がある場合です。コンパクトは-コンパクトであり、リンデレーフは-コンパクトです。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \aleph_{0}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$

のリンデレーフ次数、またはリンデレーフ数は 、空間のすべての開被覆が最大でサイズ の部分被覆を持つ最小の基数である。この表記法では、である場合、 である。上で定義されたリンデレーフ数は、コンパクト空間とリンデレーフ非コンパクト空間を区別しない。一部の著者は、リンデレーフ数を別の概念に付けた。つまり、空間のすべての開被覆がサイズ の部分被覆よりも厳密に小さいような最小の基数である^[17]この後者の（あまり使用されない）意味では、リンデレーフ数は、位相空間が-コンパクトであるような最小の基数である。この概念は、リンデレーフ数と呼ばれることもある。${\displaystyle l(X),}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle l(X)=\aleph _{0}.}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa .}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa}$空間のコンパクトさの度合い^[18]${\displaystyle X.}$

• 可算性の公理 – 特定の特性を持つ可算集合の存在を主張する、特定の数学的オブジェクト (通常はカテゴリ内) の特性。このような公理がなければ、そのような集合はおそらく存在しないでしょう。フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• リンデレーフの補題 – 実数のすべての開集合は開区間の可算な和集合であるという補題フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• Engelking、Ryszard、『一般トポロジー』、ヘルダーマン出版ベルリン、1989 年。ISBN 3-88538-006-4 
• I. Juhász (1980)。位相幾何学における基数関数 - 10年後。数学。Centre Tracts、アムステルダム。ISBN 90-6196-196-3。
• マンクレス、ジェームズ.トポロジー、第 2 版.
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、J.アーサー・ジュニア( 1995) [1978].位相幾何学における反例( 1978年版のドーバー再版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 978-0-486-68735-3. MR  0507446。
• ウィラード、スティーブン。一般位相幾何学、ドーバー出版（2004年）ISBN 0-486-43479-6 

• https://dantopology.wordpress.com/2012/05/03/when-is-a-lindelof-space-normal/