下限トポロジー

数学において、下限位相または右半開区間位相は、上で定義される 位相である。${\displaystyle \mathbb {R} }$実数の集合。これは、標準的な位相とは異なります。${\displaystyle \mathbb {R} }$（開区間によって生成される）であり、興味深い性質をいくつか持っています。これは、すべての半開区間[ a , b )の基底によって生成される位相です。ここで、aとbは実数です。

結果として得られる位相空間は、ロバート・ソルゲンフライにちなんでソルゲンフライ線 または矢印と呼ばれ、時には次のように表記される。$\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$、$\displaystyle \mathbb {R} _{\text{LL}}$または$\displaystyle \mathbb {R} _{\text{bad}}$[ ^{1 ]}カントール集合や長い直線と同様に、ソルゲンフライ直線は、一般位相幾何^学における多くのもっともらしく聞こえる予想に対する有用な反例としてよく用いられる。$\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$それ自体もまた、ゾルゲンフライ平面として知られる有用な反例である。

全く同様に、上限トポロジー、または左半開区間トポロジーを定義することもできます。

• 下限位相は、実数上の標準位相（開区間によって生成される）よりも細かい（開集合が多い）構造を持つ。その理由は、すべての開区間は、半開区間の（可算無限個の）和集合として表すことができるからである。
• 実際の${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$間隔${\displaystyle [a,b)}$はclopenです$\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$（つまり、オープンとクローズの両方）。さらに、すべての実数に対して${\displaystyle a}$セット${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x<a\}}$そして${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}}$それらも開通しています。これは、ゾルゲンフライ線が完全に切断されていることを示しています。
• の任意のコンパクト部分集合$\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$は最大で可算集合でなければならない。これを確認するには、空でないコンパクトな部分集合を考えてみよう。${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} _{l}}$修正する${\displaystyle x\in C}$次の開いたカバーを考えてください${\displaystyle C}$:

${\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}$

以来${\displaystyle C}$コンパクトであるため、このカバーは有限部分カバーを持ち、したがって実数が存在する。${\displaystyle a(x)}$区間${\displaystyle (a(x),x]}$点が含まれていません${\displaystyle C}$とは別に${\displaystyle x}$これはすべての人に当てはまります${\displaystyle x\in C}$有理数を選びます。${\displaystyle q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q} }$間隔が${\displaystyle (a(x),x]}$パラメータ化${\displaystyle x\in C}$は互いに素であり、関数${\displaystyle q:C\to \mathbb {Q} }$は単射なので、${\displaystyle C}$せいぜい数えられる程度である。

• 「下限トポロジー」という名前は、次の事実から来ています。シーケンス（またはネット）${\displaystyle (x_{\alpha })}$で$\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$極限に収束する${\displaystyle L}$「近づく」場合に限る${\displaystyle L}$右から」とは、すべての${\displaystyle \epsilon >0}$インデックスが存在する$\displaystyle \alpha _{0}}$そのため${\displaystyle \forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon }$ソルゲンフライ線は、右側極限の研究に使用できます。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$は関数である。${\displaystyle f}$で${\displaystyle x}$（コドメインが標準トポロジーを持つ場合）は通常の極限と同じである。${\displaystyle f}$で${\displaystyle x}$ドメインが下限トポロジーを備え、コドメインが標準トポロジーを持つ場合。
• 分離公理の観点から言えば、$\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$これは完全に通常のハウスドルフ空間です。
• 可算性公理の観点から言えば、$\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$は第一可算名詞で分離可能だが、第二可算名詞ではない。
• コンパクト性という点では、$\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$はリンデレーフかつパラコンパクトであるが、σコンパクトでも局所コンパクトでもない。
• $\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$は距離化可能ではない。なぜなら、分離可能な距離空間は第二可算だからである。しかし、ソルゲンフレイ直線の位相は準距離によって生成される。
• $\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ベール空間である。^{[ 2 ]}
• $\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$連結コンパクト化は存在しない。^{[ 3 ]}

• トポロジーの一覧

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( 1978年版のドーバー 復刻版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3MR 0507446​