異傾性軌道

数学において、力学系の位相空間図において、ヘテロクリニック軌道（ヘテロクリニック接続とも呼ばれる）とは、位相空間内で2つの異なる平衡点を結ぶ経路のことである。軌道の始点と終点の平衡点が同じ場合、その軌道はホモクリニック軌道と呼ばれる。

常微分方程式で記述される連続力学系を考える$${\displaystyle {\dot {x}}=f(x).}$$ 均衡が存在すると仮定します。${\displaystyle x=x_{0},x_{1}.}$そして解決策${\displaystyle \phi (t)}$はヘテロクリニック軌道である${\displaystyle x_{0}}$に${\displaystyle x_{1}}$両方の制限が満たされている場合： $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\phi (t)\rightarrow x_{0}&{\text{as}}&t\rightarrow -\infty ,\\[4pt]\phi (t)\rightarrow x_{1}&{\text{as}}&t\rightarrow +\infty .\end{array}}}$$

これは、軌道が安定多様体に含まれていることを意味する。${\displaystyle x_{1}}$そして不安定多様体${\displaystyle x_{0}}$。

マルコフ分割を用いることで、双曲型システムの長時間挙動を記号力学の手法を用いて研究することができる。この場合、ヘテロクリニック軌道は特に単純明快な表現を持つ。${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,M\}}$は有限個のM個の記号の集合である。点xのダイナミクスは、二無限の記号列によって表現される。

${\displaystyle \sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}}$

システムの周期点は、単に文字の繰り返し列です。ヘテロクリニック軌道は、2つの異なる周期軌道の結合です。それは次のように書くことができます。

$${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }}$$

どこ${\displaystyle p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}}$は長さkの記号の列です(もちろん、${\displaystyle t_{i}\in S}$）、 そして${\displaystyle q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}}$は、長さmの別の記号列です(同様に、${\displaystyle r_{i}\in S}$)表記法${\displaystyle p^{\omega }}$これは単にpを無限回繰り返すことを表します。したがって、ヘテロクリニック軌道は、ある周期軌道から別の周期軌道への遷移として理解できます。対照的に、ホモクリニック軌道は次のように書くことができます。

${\displaystyle p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }}$

中間配列と共に$s_1s_2...s_n$空でない、そしてもちろんpではない。そうでなければ、軌道は単に${\displaystyle p^{\omega }}$。

• 異種間結合
• 異傾性周期
• 異方性分岐
• ホモクリニック軌道
• 進行波

• ジョン・グッケンハイマー、フィリップ・ホームズ著、『非線形振動、力学系、およびベクトル場の分岐』（応用数学科学第42巻）、シュプリンガー出版