レヴィ分解

リー理論と表現論において、ヴィルヘルム・キリング^[1]とエリー・カルタン^[2]によって予想され、エウジェニオ・エリア・レヴィ (1905)によって証明されたレヴィ分解は、特性ゼロの体上の任意の有限次元リー代数gは、可解なイデアルと半単純部分代数の半直積であると述べている。1つはその根基、つまり最大可解なイデアルであり、もう1つはレヴィ部分代数と呼ばれる半単純部分代数である。レヴィ分解は、任意の有限次元リー代数が可解なリー代数と半単純リー代数の 半直積であることを意味する。

gの因数代数として見ると、この半単純リー代数はgのレヴィ因子とも呼ばれます。ある程度まで、分解を使用して、有限次元リー代数とリー群に関する問題を、解けるリー代数と半単純リー代数という 2 つの特別なクラスに分離することができます。

さらに、マルチェフ（1942）は、任意の2つのレヴィ部分代数は、（内部）自己同型によって 共役であることを示した。

${\displaystyle \exp(\mathrm {ad} (z))\ }$

ここで、z は零根号です（レヴィ・マルチェフの定理）。

類似の結果は結合代数に対しても有効であり、ウェダーバーンの主定理と呼ばれます。

表現論では、いわゆる放物的に誘導された表現の大きなファミリーを構築するために、簡約群の放物型部分群のレヴィ分解が必要です。ラングランズ分解は、このコンテキストで使用される放物型部分群のレヴィ分解をわずかに改良したものです。

同様の記述は単連結リー群についても成り立ち、ジョージ・モストウによって示されたように、代数リー代数と特性ゼロの体上の単連結代数群についても成り立ちます。

ほとんどの無限次元リー代数にはレヴィ分解の類似物はありません。たとえば、アフィン リー代数はその中心からなる根基を持ちますが、中心と別のリー代数の半直積として記述することはできません。レヴィ分解は、正の特性を持つ体上の有限次元代数に対しても失敗します。

• リー群分解

• ジェイコブソン、ネイサン（1979）。リー代数。ニューヨーク：ドーバー。ISBN 0486638324. OCLC  6499793.
• Levi、Eugenio Elia (1905)、「Sulla struttura dei gruppi finiti e continui」、Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino。 (イタリア語)、XL : 551–565、JFM  36.0217.02、2009 年 3 月 5 日のオリジナルからアーカイブ再版先: オペラ Vol. 1、エディツィオーネ・クレモネーゼ、ローマ（1959年）、p. 101.
• マルツェフ、アナトリー I. (1942)、「代数を根号と半単純部分代数の直和として表現することについて」、CR (Doklady) Acad. Sci. URSS、New Series、36 : 42–45、MR  0007397、Zbl  0060.08004。

• AI Shtern (2001) [1994]、「レヴィ・マルツェフ分解」、数学百科事典、EMS Press