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確率論と論理学では、一連のイベントのうち少なくとも 1 つが発生する必要がある場合、そのイベントは共同で網羅的または集合的に網羅的です。たとえば、 6 面サイコロを振るとき、イベント 1、2、3、4、5、および 6 は、起こり得る結果の全範囲を網羅するため、集合的に網羅的です。
集合的に網羅的なイベントを記述する別の方法は、それらの和集合が標本空間全体のすべてのイベントをカバーしなければならないというものである。例えば、イベントAとBが集合的に網羅的であるとは、
ここでSは標本空間です。
これを、相互に排他的なイベントのセットの概念と比較してください。このようなセットでは、特定の時間に 1 つのイベントしか発生できません。(相互排除の形式によっては、1 つのイベントしか発生できません。) サイコロを振る可能性のあるすべてのセットは、相互に排他的であり、集合的に網羅的です (つまり、「MECE」)。イベント 1 と 6 は相互に排他的ですが、集合的に網羅的ではありません。イベント「偶数」(2、4、または 6) と「6 以外」(1、2、3、4、または 5) も集合的に網羅的ですが、相互に排他的ではありません。相互排除の形式によっては、集合的に網羅的であるかどうかに関係なく、1 つのイベントしか発生できません。たとえば、特定のビスケットを複数の犬のグループに投げることは、どの犬がそれをつかむかに関係なく、繰り返すことはできません。
集合的に網羅的かつ相互に排他的なイベントの 1 つの例は、コインを投げることです。結果は表か裏のどちらか、つまり p (表または裏) = 1 であるため、結果は集合的に網羅的です。表が出ると裏は出ません、つまり p (表と裏) = 0 であるため、結果も相互に排他的です。
集合的に網羅的かつ相互に排他的であるイベントの別の例としては、6 面のサイコロを振るランダム実験におけるイベント「偶数」(2、4、または 6) とイベント「奇数」(1、3、または 5) があります。偶数と奇数の結果が同時に発生することは決してないため、これら 2 つのイベントは相互に排他的です。 「偶数」と「奇数」の両方のイベントの結合により、サイコロを振るサンプル空間が提供されるため、集合的に網羅的です。
歴史
「徹底的な」という用語は、少なくとも 1914 年以来、文献で使用されています。次にいくつかの例を示します。
以下は、クチュラの著書『論理の代数』（1914年）の23ページの脚注である。 [1]
- 「ラッド・フランクリン夫人がまさに指摘したように（ボールドウィン『哲学と心理学の辞典』、記事「思考の法則」[2]）、矛盾の原理だけでは矛盾を定義するのに十分ではありません。矛盾の原理という名にふさわしい排中原理を追加する必要があります。これが、ラッド・フランクリン夫人が、これらをそれぞれ排除の原理と網羅の原理と呼ぶことを提案する理由です。前者によれば、2 つの矛盾する用語は排他的であり（一方が他方を）、後者によれば、それらは網羅的である（談話領域を）からです。」（強調のために太字で追加）
スティーブン・クリーネは『メタ数学入門』 （1952年）の中で基数について論じており、「相互に排他的」という用語を「網羅的」という用語と組み合わせて使用している。[3]
- 「したがって、任意の 2 つの基数 M と N について、3 つの関係 M < N、M = N、および M > N は「相互に排他的」であり、つまり、そのうちの 1 つ以上は成立しません。 ¶ 理論が進んだ段階になるまで、それらが「網羅的」であるかどうか、つまり、3 つのうち少なくとも 1 つは成立する必要があるかどうかはわかりません。」(強調のために斜体を追加、Kleene 1952:11。原文では、記号 M と N の上に二重のバーがあります)。
参照
参考文献
- ^ クチュラ、ルイ (1914)。『論理の代数』。リディア・ギリンガム・ロビンソン訳。シカゴおよびロンドン: The Open Court Publishing Company。
- ^ ボールドウィン (1914)。「思考の法則」。哲学と心理学辞典。p. 23。
- ^ クリーネ、スティーブン C. (1952)。メタ数学入門(第 6 版 1971 ed.)。アムステルダム、ニューヨーク: North-Holland Publishing Company。ISBN 0-7204-2103-9。