ファブリギャップ定理

数学において、ファブリギャップ定理は、ゼロでない項がそれらの間に特定の「ギャップ」を持つ次数である複素冪級数の解析接続に関する結果です。このような冪級数は、収束円の境界上のどこにも解析関数として拡張できないという意味で「動作が不適切」です。

この定理は、トゥラン法の最初の主定理から導き出されます。

定理の記述

0 < p ₁ < p ₂ < ...を整数列とし、 p _n / n列は∞に発散する。( α _j ) _j_∈_Nを複素数列とし、冪級数が

f(z)=\sum _{j\in \mathbf {N} }\alpha _{j}z^{p_{j}}

収束半径は 1 です。すると単位円は級数fの自然な境界になります。

この定理の逆はジョージ・ポリアによって確立されました。lim inf p _n / n が有限である場合、指数シーケンスp _nを持つべき級数が存在し、収束半径は 1 に等しくなりますが、単位円は自然な境界ではありません。

Montgomery, Hugh L. (1994)。解析的数論と調和解析のインターフェイスに関する 10 回の講義。数学地域会議シリーズ。第 84 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0737-4.ZBL0814.11001 。
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