可逆拡散

数学において、可逆拡散は可逆確率過程の具体的な例である。可逆拡散は、ロシアの数学者アンドレイ・ニコラエヴィチ・コルモゴロフによって洗練された特徴づけがなされた。

Bをd次元標準ブラウン運動とし、b  : R ^d → R ^{d を}リプシッツ連続ベクトル場とする。X : [0, +∞) × Ω → R ^dを確率空間(Ω, Σ, P )上で定義され、伊藤確率微分方程式を解く伊藤拡散関数とする。            $$\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\mathrm {d} B_{t}}$$ 二乗可積分な初期条件、すなわちX ₀  ∈ L ² (Ω, Σ, P ; R ^d ) の場合、以下は同等である。    

• プロセスXはR ^d上で定常分布μを持つ可逆プロセスです。
• b = − ∇Φ、μはラドン・ニコディム微分を持つようなスカラーポテンシャルΦ  : R ^d → Rが存在する。     $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mu (x)}{\mathrm {d} x}}=\exp \left(-2\Phi (x)\right)}$$そして$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\exp \left(-2\Phi (x)\right)\,\mathrm {d} x=1.}$$

（もちろん、bがΦの勾配の負の値であるという条件は、Φをある加法定数を除いて決定するに過ぎません。この定数は、exp( − 2Φ(·))が積分1の確率密度関数となるように選択できます。）

• ヴォス、ヨッヘン (2004)。拡散プロセスでは、いくつかの大きな偏差が生じます(論文)。カイザースラウテルン大学: 博士論文。（定理1.4を参照）