角運動量図（量子力学）

量子力学と量子多粒子系へのその応用、特に量子化学において、角運動量図、または数学的観点からより正確には角運動量グラフは、量子系の角運動量 量子状態を図式的に表し、計算を記号的に実行できるようにする手法である。より具体的には、矢印は角運動量状態をブラケット表記で符号化し、テンソル積や変換規則などの状態の抽象的な性質を含む。

この表記法は、ペンローズのグラフィカル表記法やファインマン図の考え方に似ています。図は矢印と頂点で構成され、量子数がラベルとして付けられているため、「グラフ」という別名があります。各矢印の意味はエルミート共役に関連し、これは角運動量状態の時間反転にほぼ相当します(シュレーディンガー方程式を参照)。図式表記法は、それ自体がかなり大きなトピックであり、多くの特殊な機能を備えています。この記事では、その基本を紹介します。

これらは主に20 世紀に アドルファス・ジュシス(ユツィスと訳されることもある)によって開発されました。

全角運動量量子数jと全磁気量子数m = j , j − 1, ..., − j + 1, − jを持つ単一粒子の量子状態ベクトルは、ケット| j , m ⟩と表されます。図では、これは単方向の矢印です。

対称的に、対応するブラは⟨ j , m |です。図では、これはケットと反対方向を指す 両方向矢印です。

いずれの場合も;

• 量子数j、mは特定の角運動量状態を示すために矢印の横に付けられることが多い。
• 矢じりはほとんどの場合、線の先端ではなく中央に配置されます。
• 等号 "=" は、互いに等しい複数の代数式の場合とまったく同じように、同等の図の間に配置されます。

最も基本的な図は、ケットとブラのものです。

矢印は頂点に向けられたり頂点から出たりしており、状態は次のように変化します。

• 標準的な表現は頂点から出る有向線で表され、
• 対照的な表現は頂点に入る線として表されます。

一般的な規則として、矢印は同じ方向に互いに続きます。対照的な表現では、ここでTで表される時間反転演算子が使用されます。これはユニタリであり、エルミート共役T ^{† が}逆演算子T ⁻¹に等しい、つまりT ^† = T ⁻¹です。位置演算子に対するその作用は不変のままです。

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {x} }}T^{\dagger }={\hat {\mathbf {x} }}}$

しかし線形運動量演算子は負になります。

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {p} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {p} }}}$

スピン演算子は負になります。

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {S} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {S} }}}$

軌道角運動量演算子はL = x × pなので、これも負になるはずです。

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {L} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {L} }}}$

したがって、全角運動量演算子J = L + Sは負になります。

${\displaystyle T{\hat {\mathbf {J} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {J} }}}$

角運動量| j , m ⟩の固有状態に作用すると、次のことが示される: ^[1]

${\displaystyle T\left|j,m\right\rangle \equiv \left|T(j,m)\right\rangle ={(-1)}^{j-m}\left|j,-m\right\rangle }$

ケットとブラの時間反転図は次のとおりです。

順方向時間演算子と逆方向時間演算子が混同されてしまうため、頂点を正しく配置することが重要です。

2つの状態| j ₁ , m ₁ ⟩と| j ₂ , m ₂ ⟩の内積は次のようになります。

${\displaystyle \langle j_{2},m_{2}|j_{1},m_{1}\rangle =\delta _{j_{1}j_{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}}$

図は次のとおりです。

内積の合計については、この文脈では縮約（テンソル縮約を参照）としても知られています。

${\displaystyle \sum _{m}\langle j,m|j,m\rangle =2j+1}$

結果は、 mではなくjのみでラベル付けされた閉じた円で表すのが慣例です。

2つの状態| j ₁ , m ₁ ⟩と| j ₂ , m ₂ ⟩の外積は演算子です。

${\displaystyle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \left\langle j_{1},m_{1}\right|}$

図は次のとおりです。

外積の合計については、この文脈では縮約（テンソル縮約を参照）としても知られています。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m}|j,m\rangle \langle j,m|&=\sum _{m}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{2(j-m)}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{j-m}|j,-m\rangle \langle j,-m|{(-1)}^{j-m}\\&=\sum _{m}T|j,m\rangle \langle j,m|T^{\dagger }\end{aligned}}}$

ここで、 T | j、m ⟩の結果が使用され、m は上記の値のセットを取るという事実が使用されています。外積縮約では順方向と逆方向の状態の間に違いはありません。そのため、ここでは同じ図を共有し、方向のない1本の線で表され、ここでもjのみでラベル付けされ、mではラベル付けされません。

n個の状態| j ₁ , m ₁ ⟩、| j ₂ , m ₂ ⟩、... | j _n , m _n ⟩のテンソル積⊗は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle &\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \\&\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \cdots \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \end{aligned}}}$

図形式では、それぞれの個別の状態が共通の頂点から出たり入ったりして、矢印の「扇形」、つまり1 つの頂点に接続された n本の線が形成されます。

テンソル積の頂点には、テンソル乗算された状態の順序を示す符号（「ノード符号」と呼ばれることもあります）があります。

• マイナス記号（−）は時計回りの順序を示します。、、${\displaystyle \circlearrowright }$
• 反時計回りの場合はプラス記号( + ) 。${\displaystyle \circlearrowleft }$

もちろん、符号は 1 つの状態、つまり図式的に頂点に 1 つの矢印だけに必要なわけではありません。テンソル乗算の意味を明示的に示すために、符号付きの曲線矢印が含まれる場合もありますが、通常は矢印を省略して符号のみが表示されます。

2つのテンソル積状態の内積の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle j'_{n},m'_{n},...,j'_{2},m'_{2},j'_{1},m'_{1}|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle \\=&\langle j'_{n},m'_{n}|...\langle j'_{2},m'_{2}|\langle j'_{1},m'_{1}||j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle ...|j_{n},m_{n}\rangle \\=&\prod _{k=1}^{n}\left\langle j'_{k},m'_{k}|j_{k},m_{k}\right\rangle \end{aligned}}}$

内積矢印は n個あります。

• これらの図は、Clebsch-Gordan係数に適しています。
• 多電子原子や分子システムなどの実際の量子システムを使用した計算。

• はしご車オペレーター
• フォックスペース
• ファインマン図

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