ピーノ・ジョーダン尺度

数学において、ペアノ・ジョルダン測度（ジョルダン含有量とも呼ばれる）は、例えば三角形、円盤、平行六面体よりも複雑な形状に対して、大きさ（長さ、面積、体積）の概念を拡張したものである。

集合がジョルダン測度を持つためには、ある制限的な意味で良好な性質を持つ必要があることがわかっています。このため、現在では、ジョルダン測度をより大きな集合クラスに拡張したルベーグ測度を用いる方が一般的になっています。歴史的に見ると、ジョルダン測度は19世紀末頃に最初に登場しました。歴史的な理由から、ジョルダン測度という用語は、現代の定義では真の測度ではないにもかかわらず、この集合関数に対して現在では広く用いられています。なぜなら、ジョルダン測度可能な集合はσ代数を形成しないからです。例えば、単集合は${\displaystyle \{x\}_{x\in \mathbb {R} }}$で${\displaystyle \mathbb {R} }$それぞれジョルダン尺度は0であるが、${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$それらの可算和集合は、ジョルダン可測ではありません。^{[ 1 ]} このため、一部の著者^{[ 2 ]}はジョルダン含有量という用語を使用することを好みます。

ペアノ・ジョルダン尺度は、その考案者であるフランスの数学者カミーユ・ジョルダンとイタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノにちなんで名付けられました。^{[ 3 ]}

ユークリッド空間を考える$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ジョルダン測度は、まず有界半開区間のデカルト積上で定義される。$${\displaystyle C=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})}$$ 左側が閉じていて右側が開いており、すべての端点が${\displaystyle a_{i}}$そして${\displaystyle b_{i}}$有限実数（半開区間は技術的な選択であり、後述するように、必要に応じて閉区間または開区間を使用することもできます）。このような集合は、${\displaystyle n}$次元長方形、または単に長方形。このような長方形のジョルダン測度は、区間の長さの積として定義される。 $${\displaystyle m(C)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n}).}$$

次に、単純集合（ポリレクタングルとも呼ばれる）を考える。これは有限個の長方形の和集合である。 $${\displaystyle S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{k}}$$ いかなる場合でも${\displaystyle k\geq 1.}$

ジョルダン測度を定義することはできない${\displaystyle S}$個々の長方形の寸法の合計として表現すると、${\displaystyle S}$これは決して特異なものではなく、長方形の間にはかなりの重複がある可能性がある。

幸いなことに、そのような単純なセットは${\displaystyle S}$これは、互いに素な別の有限個の長方形の集合の和集合として書き直すことができ、次にジョルダン測度を定義する。${\displaystyle m(S)}$互いに素な長方形の寸法の合計として。

ジョルダン測度のこの定義は、${\displaystyle S}$表現とは無関係である${\displaystyle S}$互いに素な長方形の有限個の和集合として表される。長方形が半開区間から構成されているという仮定は、「書き換え」の段階で用いられる。

閉区間の積である集合に注目してください。 $${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]}$$ は単純集合ではなく、球も単純集合ではありません。したがって、これまでのところ、ジョルダン可測集合の集合は非常に限られています。重要なステップは、関数が区分的に定数な関数によってよく近似される場合にリーマン積分可能であるのとまったく同じように、有界集合が単純集合によって「よく近似される」場合に、その有界集合をジョルダン可測であると定義することです。

形式的には、有界集合の場合${\displaystyle B,}$定義するインナージョーダンは次のように $${\displaystyle m_{*}(B)=\sup _{S\subseteq B}m(S)}$$ そしてその外側のヨルダン尺度として $${\displaystyle m^{*}(B)=\inf _{S\supseteq B}m(S)}$$ ここで、下限と上限は単純集合に対して取られる。${\displaystyle S.}$セット${\displaystyle B}$と言われているジョーダン測定可能集合の内部測定が${\displaystyle B}$は外側の尺度に等しい。2 つの尺度の共通値は、単にジョルダン尺度と呼ばれる。${\displaystyle B}$.ジョルダン尺度は、ジョルダン測定可能な集合をそのジョルダン尺度に変換する集合関数です。

開集合または閉集合のすべての長方形、およびすべての球、単体などは、ジョルダン可測であることがわかります。また、2 つの連続関数を考えると、それらの関数のグラフ間の点の集合は、その集合が有界であり、2 つの関数の共通定義域がジョルダン可測である限り、ジョルダン可測です。ジョルダン可測集合の任意の有限和集合および共通集合は、任意の2 つのジョルダン可測集合の集合差と同様に、ジョルダン可測です。コンパクト集合は必ずしもジョルダン可測ではありません。たとえば、ε-カントール集合はそうではありません。その補集合は稠密であるため、その内部ジョルダン測度はゼロになりますが、その外部ジョルダン測度は、ルベーグ測度より小さくなることはない（実際には等しい）ため、ゼロになりません。また、有界開集合は必ずしもジョルダン可測ではありません。たとえば、ファットカントール集合の補集合（区間内）はそうではありません。有界集合がジョルダン可測であるのは、その指示関数がリーマン積分可能であり、かつその積分の値がジョルダン測度である場合に限る。

同様に、有界集合の場合${\displaystyle B}$内側のヨルダン尺度${\displaystyle B}$は位相的内部のルベーグ測度である。${\displaystyle B}$そして、外側のジョルダン測度は閉包のルベーグ測度である。^{[ 4 ]}このことから、有界集合がジョルダン可測であるのは、その位相境界のルベーグ測度がゼロである場合に限ることがわかる。（あるいは同等に、境界のジョルダン測度がゼロである場合。境界のコンパクト性により同等性が成り立つ。）

この最後の性質は、ジョルダン測度を持つ集合の種類を大きく制限します。たとえば、区間 [0,1] に含まれる有理数の集合は、その境界がジョルダン測度がゼロではない [0,1] であるため、ジョルダン測度を持ちません。しかし、直感的には、有理数の集合は可算集合であるため「小さい」集合であり、「サイズ」はゼロであるはずです。これは確かに正しいのですが、ジョルダン測度をルベーグ測度に置き換えた場合に限ります。集合のジョルダン測度が与えられている限り、その集合のルベーグ測度はジョルダン測度と同じです。しかし、ルベーグ測度は、先に述べた区間内の有理数の集合のような、はるかに広いクラスの集合に対して定義されており、また、有界でない集合やフラクタル集合に対しても定義されています。また、ルベーグ測度はジョルダン測度とは異なり、真の測度である。つまり、ルベーグ可測集合の可算和集合はルベーグ可測であるのに対し、ジョルダン可測集合の可算和集合はジョルダン可測である必要はない。

• エマヌエーレ・ディベネデット（2002）。実解析。スイス、バーゼル：ビルクホイザー。ISBN 0-8176-4231-5。
• リチャード・クーラント、フリッツ・ジョン（1999）。微積分と解析入門 第2巻/1：第1～4章（数学の古典シリーズ）。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-66569-2。

• ダーウェント、ジョン。「ジョーダン測度」。MathWorld 。
• テレヒン、AP（2001）[1994]、「ジョルダン測度」、数学百科事典、EMS Press