伊藤等長変換

数学において、伊藤等長性（伊藤清氏にちなんで名付けられた）は、伊藤確率積分に関する重要な事実である。その主な応用の一つは、伊藤積分として与えられる確率変数の分散を計算することを可能にすることである。

させて${\displaystyle W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$は、時刻まで定義された標準的な実数値ウィーナー過程を表す。${\displaystyle T>0}$、そして${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$自然な濾過に適応した確率過程である${\displaystyle {\mathcal {F}}_{*}^{W}}$ウィーナー法の。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}^{2}\,\mathrm {d} t\right],}$

どこ${\displaystyle \operatorname {E} }$は、古典的なウィーナー測度に関する期待値を表します。

言い換えれば、伊藤積分は空間からの関数として${\displaystyle L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )}$空間に適合した二乗可積分プロセス${\displaystyle L^{2}(\オメガ)}$二乗可積分な確率変数の は、内積によって誘導されるノルムに関するノルム付きベクトル空間の等長写像である。

${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)_{L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )}&:=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{T}X_{t}\,Y_{t}\,\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle (A,B)_{L^{2}(\Omega )}:=\オペレーター名 {E} (AB).}$

その結果、伊藤積分はこれらの内積も尊重する。つまり、次のように書ける。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\left(\int _{0}^{T}Y_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\right)\right]=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{T}X_{t}Y_{t}\,\mathrm {d} t\right]}$

のために${\displaystyle X,Y\in L_{\mathrm {ad} }^{2}([0,T]\times \Omega )}$。

伊藤等長性は、モンテカルロ法を用いた数値シミュレーションによって実証できる。このようなシミュレーションは、確率積分の二乗の期待値と積分された二乗過程の期待値との間の理論的な関係を検証するのに役立つ。典型的なモンテカルロ実験では、ブラウン運動の多数のサンプルパスを生成し、被積分過程のさまざまな選択肢に対して等長性方程式の両辺を計算する。${\displaystyle X_{t}}$シミュレーションでは、連続時間確率積分を離散時間総和を用いて近似する。

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,dW_{t}\approx \sum _{i=0}^{N-1}X_{t_{i}}\Delta W_{i}}$

どこ${\displaystyle \Delta W_{i}=W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}}$これは、短い時間間隔におけるブラウン運動の増分を表す。等長性は、さまざまなプロセスを用いて実証できる。${\displaystyle X_{t}}$インターバル中に${\displaystyle [0,1]}$:

1. 継続的なプロセス:${\displaystyle X_{t}=1}$
   • 分析価値：${\displaystyle \mathbb {E} [\int _{0}^{1}1^{2}\,dt]=1}$、
2. 線形決定論的​​プロセス：${\displaystyle X_{t}=t}$
   • 分析価値：${\displaystyle \mathbb {E} [\int _{0}^{1}t^{2}\,dt]={\frac {1}{3}}}$、
3. 三角関数による決定論的プロセス：${\displaystyle X_{t}=\sin(\pi t)}$
   • 分析価値：${\displaystyle \mathbb {E} [\int _{0}^{1}\sin ^{2}(\pi t)\,dt]={\frac {1}{2}}}$、
4. 経路依存型確率過程：${\displaystyle X_{t}=W_{t}}$
   • 分析価値：${\displaystyle \mathbb {E} [\int _{0}^{1}W_{t}^{2}\,dt]={\frac {1}{2}}}$、
5. 補償ポアソン（${\displaystyle M_{t}=N_{t}-\lambda t}$):${\displaystyle X_{t}=1}$
   • 分析価値：${\displaystyle \lambda \int _{0}^{T}1^{2}dt=\lambda T}$。

# ============================================================== # 5 つのプロセスの収束テスト# – 4 つのブラウン運動に基づく伊藤積分# – 1 つの補償付きポアソンマルチンゲール積分# # 出力: # • きれいにフォーマットされたエラー テーブル# • 対数-対数収束プロット# – 各ブラウン運動曲線はそれぞれ異なる色で表示# – ポアソン曲線はオレンジ色で破線で表示# ==============================================================import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt from IPython.display import displaynp.random.seed ( 42 ) #再現可能なデモ# ---------------------- グローバル設定 --------------------- T = 1.0 # 地平線lam = 3.0 # ポアソン強度 λ M_paths = 20_000 # モンテカルロパスN_list = [ 50 , 100 , 200 , 500 , 1000 , 2000 , 5000 ] # メッシュ細分化# 絶対誤差を保持するデータフレームindex = pd.Index ( N_list , name = " N" ) err_table = pd.DataFrame ( index = index , columns = [ "1" , "t" , "sin(πt)" , " W_t" , "Poisson-1" ] )# -------------------- メインシミュレーションループ ------------------ for N in N_list : dt = T / N sqrt_dt = np . sqrt ( dt ) t_left = np . linspace ( 0.0 , T , N + 1 )[: - 1 ] # 左端点 (長さ N)# ---ブラウン運動の増分とパス ------------------------ dW = np.random.normal ( 0.0 , sqrt_dt , size = ( M_paths , N ) ) W = np.zeros ( ( M_paths , N + 1 ) ) W [ :, 1 : ] = np.cumsum ( dW , axis = 1 )# ---補償されたポアソン増分 -------------------- dN = np.random.poisson ( lam * dt , size = ( M_paths , N ) ) dM = dN - lam * dt# 決定論的 X_t のヘルパーlhs_det = lambda X_grid , inc : np . mean (( inc * X_grid ) . sum ( axis = 1 ) ** 2 )# 1) X_t ≡ 1 ブラウン積分器X1 = np . ones_like ( t_left ) err_table . loc [ N , "1" ] = abs ( lhs_det ( X1 , dW ) - T )# 2) X_t = t Xt = t_left err_table . loc [ N , "t" ] = abs ( lhs_det ( Xt , dW ) - T ** 3 / 3 )# 3) X_t = sin(π t) Xs = np 。sin ( np . pi * t_left ) err_table 。loc [ N , "sin(πt)" ] = abs ( lhs_det ( Xs , dW ) - 0.5 * T )# 4) X_t = W_t (パス依存) lhs_W = np . mean (( W [:, : - 1 ] * dW ) . sum ( axis = 1 ) ** 2 ) err_table . loc [ N , "W_t" ] = abs ( lhs_W - T ** 2 / 2 )# 5) X_t ≡ 1 の補償ポアソンerr_table . loc [ N , "Poisson-1" ] = abs ( lhs_det ( X1 , dM ) - lam * T )# ---------------------- 表を表示 -------------------------- display ( err_table . style . format ( " {:.3e} " ) . set_caption ( "N に対する等長性の絶対誤差 (5 つのプロセス)" ) )# ---------------------- プロット ---------------------------- colour_map = { "1" : "tab:blue" , "t" : "tab:green" , "sin(πt)" : "tab:red" , "W_t" : "tab:purple" , "Poisson‑1" : "tab:orange" , } markers = { "1" : "o" , "t" : "s" , "sin(πt)" : "D" , "W_t" : "^" , "Poisson‑1" : "v" } styles = { "1" : "-" , "t" : "-" , "sin(πt)" : "-" , "W_t" : "-" , "Poisson‑1" : "--" }plt.figure ( figsize = ( 7 , 5 ) ) for col in err_table.columns : plt.plot ( N_list , err_table [ col ] , marker = markers [ col ] , linestyle = styles [ col ] , color = colour_map [ col ] , label = col , )​plt.xscale ( " log" ) plt.yscale ( "log" ) plt.xlabel ( "時間ステップ数 $N$ (対数スケール)" ) plt.ylabel ( "絶対誤差(対数スケール)" ) plt.title ( "等長誤差の収束 vs $N$ \ n " " ( 4つのブラウン運動、1つの補償ポアソン運動) " ) plt.grid ( True , which = " both " , ls = " : " ) plt.legend ( ) plt.tight_layout ( ) plt.show ( )

20,000サンプルパスと1,000タイムステップのモンテカルロシミュレーションでは、伊藤等長性によって予測される理論値とほぼ一致する結果が得られます。上の表に示すように、シミュレーションされた左側と理論値との絶対誤差は、${\displaystyle \mathbb {E} [(\int X_{t}\,dW_{t})^{2}]}$そして解析的な右辺${\displaystyle \mathbb {E} [\int X_{t}^{2}\,dt]}$通常はオーダー${\displaystyle 10^{-3}}$またはそれよりも小さい値となり、等長関係の妥当性が確認される。

これらのシミュレーションは、伊藤等長性に関する実証的な証拠となり、決定論的プロセスと確率的プロセスの両方において、この関係がどのように成り立つかについての洞察を与えてくれる。理論値とシミュレーション値との密接な一致は、確率微分積分学の基本的な性質としての等長性の堅牢性を示している。

伊藤等長性は、標準的なウィーナー過程を超えて、より広範な確率過程、特にマルチンゲールにまで拡張され、確率積分の分散を計算するための強力な枠組みを提供する。${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$は濾過に関してマルチンゲールである${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\geq 0}}$もし：

• ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t}|{\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}}$すべての人々のために${\displaystyle t\geq s}$

マルチンゲール法はさらに以下のように分類できます。

• ${\displaystyle L^{1}}$マルチンゲールの場合${\displaystyle \mathbb {E} [|X_{t}|]<\infty }$すべての人々のために${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle L^{2}}$マルチンゲールの場合${\displaystyle \mathbb {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$すべての人々のために${\displaystyle t}$（そして暗黙のうちに、${\displaystyle L^{1}}$）

ローカルマルチンゲールはプロセスです${\displaystyle \{X_{t}\}}$停止時間のシーケンスが存在する${\displaystyle \{\tau _{n}\}}$と${\displaystyle \tau _{n}\rightarrow \infty }$そのため${\displaystyle \{X_{t\wedge \tau _{n}}\}}$それぞれにマルチンゲールがあります${\displaystyle n}$。

• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式：応用例を含む入門. Springer, Berlin. ISBN 3-540-04758-1。