En (リー代数)

数学、特にリー理論において、E n_はカッツ・ムーディ代数であり、そのディンキン図は長さ 1、2、kの 3 つの枝( k = n − 4 )を持つ分岐グラフです。

古い書籍や論文の中には、E ₂とE _{4 が}G ₂とF ₄の名前として使用されているものもあります。

E _nグループは A _nグループと似ていますが、n 番目のノードが 3 番目のノードに接続されている点が異なります。そのため、カルタン行列は類似しており、対角線の上下は -1 ですが、最後の行と列を除き、3 番目の行と列には -1 があります。E _nのカルタン行列の行列式は9 − nです。

• E _{3 は}、カルタン行列式が 6 である次元 11 のリー代数A ₁ A ₂の別名です。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0\\-1&2&0\\0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E _{4 は}、カルタン行列式が 5 である次元 24 のリー代数A ₄の別名です。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{matrix}}\right]}$

• E _{5 は}、カルタン行列式が 4 である次元 45 のリー代数D ₅の別名です。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&0&0\\0&-1&2&-1&-1\\0&0&-1&2&-1\\0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E _{6 は}、カルタン行列式が 3 である、次元 78 の例外的なリー代数です。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E _{7 は}、カルタン行列式が 2 である、次元が 133 の例外的なリー代数です。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E _{8 は}、カルタン行列式が 1 である、次元 248 の例外的なリー代数です。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₉は、無限次元アフィンリー 代数Ẽ ₈（E⁺
  ₈またはE^（１）
  _８E ₈型のリー代数に対応する（1ノードの）拡張E ₈）（またはE ₈格子）として。E _{9 は}行列式0のカルタン行列を持つ。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₁₀（またはE⁺⁺
  ₈またはE^{（１）^}
  ₈（2ノードの）過剰拡張されたE ₈ ）は、根格子が次元10の偶ロレンツユニモジュラー格子II _9,1である無限次元カッツ・ムーディ代数である。その根の重複度のいくつかは計算されており、小さな根に対しては重複度は適切に振る舞うように見えるが、より大きな根に対しては観察されたパターンは崩れる。E ₁₀は、行列式が−1であるカルタン行列を持つ。

  ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]}$

• E ₁₁（またはE⁺⁺⁺
  ₈（3ノードの）非常に拡張されたE ₈）は、1つの時間的虚数次元を含むローレンツ代数であり、 M理論の対称「群」を生成すると推測されています。
• n ≥ 12のE _{n は}、あまり研究されていない無限次元Kac-Moody 代数の族です。

E _nのルート格子は行列式9 − nを持ち、ノルムn × 1 2 − 3 2 = n − 9のベクトル(1,1,1,1,...,1|3)に直交するユニモジュラーローレンツ格子 Z _{n ,1の}^{ベクトルの格子}として 構成できます。

ランズバーグとマニベルは、整数nに対するE _nの定義をn = 7の場合まで拡張した。+1 ⁄ 2 。彼らは、Cvitanovic、Deligne、Cohen、de Man によって観察された_{E n}系列の表現の次元公式の「穴」を埋めるためにこれを行いました_{。E 7+1 ⁄ 2 は}次元が 190 ですが、単純なリー代数ではありません。そのnilradicalハイゼンベルク代数。

• _En Lie 代数に基づくk ₂₁、2 _k1、1 _k2多面体。

• Kac, Victor G; Moody, RV; Wakimoto, M. (1988). 「E ₁₀について」。理論物理学における微分幾何学的手法 (Como, 1987) 。NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Vol. 250。ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers Group。pp . 109–128。MR  0981374。

• West, P. (2001). 「E ₁₁と M 理論」.古典重力と量子重力. 18 (21): 4443–4460. arXiv : hep-th/0104081 . Bibcode :2001CQGra..18.4443W. doi :10.1088/0264-9381/18/21/305. S2CID  250872099.クラス. 量子重力. 18 (2001) 4443-4460
• ゲベール、RW。ニコライ、H. (1994)。 「初心者向けE10」。初心者向けのE ₁₀。物理学の講義ノート。 Vol. 447。197 ～ 210 ページ。arXiv : hep-th/9411188。土井：10.1007/3-540-59163-X_269。ISBN 978-3-540-59163-4. S2CID  14570784。ガージー記念会議議事録 '94
• Landsberg, JM; Manivel, L. (2006). 「六元数と E7½」.数学の進歩. 201 (1): 143–179. arXiv : math.RT/0402157 . doi : 10.1016/j.aim.2005.02.001 .
• カッツ・ムーディ代数とM理論の関係、ポール・P・クック、2006年 [1]
• ロレンツ・カッツ・ムーディ代数のクラス、マティアス・R・ガベルディエル、デイヴィッド・I・オリーブ、ピーター・C・ウェスト、2002年 [2]