インドラの真珠（本）

インドラの真珠

著者	デイヴィッド・マンフォード、キャロラインシリーズ、デイヴィッド・ライト
言語	英語
主題	幾何学
ジャンル	ノンフィクション
出版社	ケンブリッジ大学出版局
発行日	2002年、2015年
出版地	イギリス
メディアタイプ	印刷物（ハードカバー、ペーパーバック）
番号	978-0-521-35253-6
OCLC	49859120

『Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein』は、 David Mumford、 Caroline Series 、David Wrightによって執筆され、 2002 年と 2015 年にCambridge University Pressから出版された幾何学の本です。

この本は、メビウス変換と呼ばれる複素平面の等角写像を反復することによって作成されるパターンと、それらの対称性および自己相似性との関連を探求します。これらのパターンはドイツの数学者フェリックス・クラインによって垣間見られましたが、現代のコンピュータグラフィックスにより、それらを完全に視覚化し、詳細に探求することができます。

この本の題名は、仏教の経典『華厳経』に記されている比喩的な物体であるインドラの網を指しています。インドラの網は、無限に並んだ薄い糸と真珠で構成されています。 『インドラの真珠』の口絵には、次のような記述が引用されています。

それぞれの真珠の輝く表面には、他のすべての真珠が映っています...それぞれの反射には、また無限に多くの他の真珠が映り、このプロセスによって、反射の反射が終わりなく続きます。

フェリックス・クラインの「ビジョン」への言及は、クラインのショットキー群の初期の調査と、その極限集合の手描きの図を参照しています。また、群論、対称性、幾何学の関係についてのクラインのより広いビジョンも参照しています。エアランゲン・プログラムを参照してください。

インドラの真珠の内容は次のとおりです。

• 第 1 章対称性の言語- 対称性の数学的概念と幾何学的群との関係の紹介。
• 第 2 章楽しいフィクション-複素数と複素平面およびリーマン球面のマッピングの紹介。
• 第 3 章二重螺旋とメビウス マップ- メビウス変換とその分類。
• 第 4 章ショットキー ダンス– ショットキー群を生成するメビウス写像のペア。幅優先探索を使用してその極限集合をプロットします。
• 第 5 章フラクタルダストと無限語-フラクタルとしてみなされるショットキー限界集合、深さ優先探索と反復関数システムを使用したこれらのフラクタルのコンピューター生成。
• 第 6 章インドラのネックレス- 生成円のペアが接触したときに生成される連続極限集合。
• 第 7 章光るガスケット- その極限集合がアポロニアン ガスケットであるショットキー群。モジュラー群にリンクします。
• 第 8 章パラメータの操作– 2 つの複素パラメータを使用して放物型 交換子を持つショットキー群をパラメータ化し、これらのパラメータを使用してショットキー群のTeichmüller 空間を探索します。
• 第 9 章事故は起こるもの-単一の複素パラメータでパラメータ化されたMaskit のスライスを紹介し、離散グループと非離散グループの境界を探ります。
• 第 10 章亀裂の間– パラメーター空間の別のスライスにおける離散グループと非離散グループ間の Maskit 境界のさらなる調査、退化グループの識別と調査。
• 第 11 章境界を越える– 3 番目のジェネレータの追加など、さらに調査するためのアイデア。
• 第 12 章エピローグ–非ユークリッド幾何学とタイヒミュラー理論の概要のまとめ。

Indra's Pearls は、最終結果を形式的に提示するだけでなく、読者に実際の数学的調査の展開を感じてもらうことを目的としている点で珍しい本です。幅広いトピックを取り上げ、幾何学、数論、抽象代数、コンピュータ グラフィックスの相互関係を示します。現代の数学者によるコンピュータの使用方法を示します。コンピュータ グラフィックス、図表、漫画を使用して、文章による説明を補強しています。著者自身の言葉で言うと、次のようになります。

私たちの夢は、数学が異質で遠いものではなく、遊びと驚きと美しさで栄える、世界のパターンの非常に人間的な探求にすぎないことを、この本を通して読者に伝えることです- Indra's Pearls p viii。

• マムフォード、デイヴィッド；シリーズ、キャロライン；ライト、デイヴィッド（2002）、インドラの真珠（ハードカバー版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-35253-6、MR  1913879
• マムフォード、デイヴィッド; シリーズ、キャロライン; ライト、デイヴィッド (2015)、インドラの真珠(ペーパーバック版)、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1-107-56474-9

• インドラの真珠のウェブサイト