指数関数分布

指数関数的

パラメータ	${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}>0\,}$レート（実質）
サポート	${\displaystyle x\in [0;\infty )\!}$
PDF	位相型分布 として表現される他の単純な形式はありません。詳細については記事を参照してください。 ${\displaystyle -{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }\Theta {\boldsymbol {1}}}$
ドイツ連邦共和国	位相型分布として表現される ${\displaystyle 1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }{\boldsymbol {1}}}$
平均	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}\,}$
中央値	一般的な閉形式は存在しない[1]
モード	${\displaystyle (k-1)/\lambda }$ならば、すべてのkに対して${\displaystyle \lambda _{k}=\lambda }$
分散	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{2}}$
歪度	${\displaystyle 2(\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{3})/(\sum _{i=1}^{k}1/\lambda _{i}^{2})^{3/2}}$
過剰尖度	単純な閉じた形式ではない
MGF の	${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(tI-\Theta )^{-1}\Theta \mathbf {1} }$
CF	${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(itI-\Theta )^{-1}\Theta \mathbf {1} }$

確率論では、低指数分布または一般化アーラン分布は連続分布であり、待ち行列理論、通信交通工学、より一般的には確率過程など、アーラン分布と同じ分野で使用されています。変動係数が1 未満であるため、低指数分布と呼ばれます。一方、変動係数は 1 を超えます。また、変動係数が 1 の指数分布と比較すると、低指数分布は変動係数が 1 未満です。

アーラン分布は、すべて率 であるk個の指数分布の系列です。低指数分布は、それぞれが独自の率 （指数分布の率）を持つk個の指数分布の系列です。k個の独立に分布する指数ランダム変数がある場合、ランダム変数は、 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda_{i}}$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{i}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=\sum _{i=1}^{k}{\boldsymbol {X}}_{i}}$

は、指数関数的に分布します。指数関数的分布の最小変動係数は です。 ${\displaystyle 1/k}$

定義の結果、この分布を位相型分布の特殊なケースとして考えることが容易になります。^[2]位相型分布は、有限状態マルコフ過程の吸収までの時間です。最初のk状態が過渡的で状態k+ 1 が吸収状態であるk+1状態過程がある場合、過程の開始から吸収状態に到達するまでの時間の分布は位相型分布です。最初の 1 から始めて、状態iからi+1に速度でスキップフリーに移動し、状態k が速度で吸収状態k+1に遷移すると、これは低指数分布になります。これは、サブジェネレータ行列の形式で記述できます。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{k}}$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&\lambda _{1}&0&\dots &0&0\\0&-\lambda _{2}&\lambda _{2}&\ddots &0&0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ddots &-\lambda _{k-2}&\lambda _{k-2}&0\\0&0&\dots &0&-\lambda _{k-1}&\lambda _{k-1}\\0&0&\dots &0&0&-\lambda _{k}\end{matrix}}\right]\;.}$

簡単にするために、上記の行列を と表記します。k個の各状態 から始まる確率が${\displaystyle \Theta \equiv \Theta (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,\dots ,0)}$

それから${\displaystyle Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})=PH({\boldsymbol {\alpha }},\Theta ).}$

分布が2つのパラメータ（）を持つ場合、確率関数と関連する統計の明示的な形式は次のようになる：^[3]${\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}$

CDF:${\displaystyle F(x)=1-{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}e^{-\lambda _{1}x}-{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}e^{-\lambda _{2}x}}$

PDF:${\displaystyle f(x)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}(e^{-x\lambda _{2}}-e^{-x\lambda _{1}})}$

平均：${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}}$

分散：${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}}$

変動係数:${\displaystyle {\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}$

変動係数は常に 1 未満です。

標本平均（）と標本変動係数（）が与えられた場合、パラメータと は次のように推定できます。 ${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1+{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {2}{\bar {x}}}\left[1-{\sqrt {1+2(c^{2}-1)}}\right]^{-1}}$

これらの推定量は、モーメント法でと を設定することによって導出できます。 ${\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}}}+{\frac {1}{\lambda _{2}}}={\bar {x}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}=c}$

結果のパラメータおよびは、の場合に実数値になります。 ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle c^{2}\in [0.5,1]}$

確率変数の累積分布関数は次のように表される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim Hypo(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k})}$

${\displaystyle F(x)=1-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }{\boldsymbol {1}}}$

および密度関数、

${\displaystyle f(x)=-{\boldsymbol {\alpha }}e^{x\Theta }\Theta {\boldsymbol {1}}\;,}$

ここで はサイズkの 1 の列ベクトルであり、はAの行列指数です。すべての に対して のとき、密度関数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}}$${\displaystyle e^{A}}$${\displaystyle \lambda _{i}\neq \lambda _{j}}$${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}\left(\prod _{j=1,j\neq i}^{k}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{k}\ell _{i}(0)\lambda _{i}e^{-x\lambda _{i}}}$

ここで、 は点に関連付けられたラグランジュ基底多項式です。 ${\displaystyle \ell _{1}(x),\dots ,\ell _{k}(x)}$${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$

この分布のラプラス変換は次のよう になる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)\}=-{\boldsymbol {\alpha }}(sI-\Theta )^{-1}\Theta {\boldsymbol {1}}}$

瞬間を見つけるために使用できる、

${\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\boldsymbol {\alpha }}\Theta ^{-n}{\boldsymbol {1}}\;.}$

一般的に、指数分布の異なる和があり、各和の率と項の数がそれぞれに等しい場合、累積分布関数は次のように表される 。${\displaystyle a}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{a}}$${\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{a}}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle F(t)=1-\left(\prod _{j=1}^{a}\lambda _{j}^{r_{j}}\right)\sum _{k=1}^{a}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l}(-\lambda _{k})t^{r_{k}-l}\exp(-\lambda _{k}t)}{(r_{k}-l)!(l-1)!}},}$

と

${\displaystyle \Psi _{k,l}(x)=-{\frac {\partial ^{l-1}}{\partial x^{l-1}}}\left(\prod _{j=0,j\neq k}^{a}\left(\lambda _{j}+x\right)^{-r_{j}}\right).}$

追加の条約を締結した。^[4]${\displaystyle \lambda _{0}=0,r_{0}=1}$

^{この分布は集団遺伝学、 [5]}細胞生物学、^{[6] [7]}待ち行列理論^{[8] [9]}で利用されてきた。

• 位相型分布
• コクシアン分布

• MF Neuts . (1981) 確率モデルにおける行列幾何解法: アルゴリズム的アプローチ、第 2 章: 位相タイプの確率分布、Dover Publications Inc.
• G. Latouche、V. Ramaswami (1999) 確率モデルにおける行列解析法入門、第 1 版。第 2 章: PH 分布、ASA SIAM、
• Colm A. O'Cinneide (1999).位相型分布：未解決の問題といくつかの特性、統計的確率モデル通信、15(4)、731–757。
• L. LeemisとJ. McQueston（2008）「単変量分布関係」、アメリカ統計学者、62（1）、45-53。
• S. Ross. (2007) 確率モデル入門、第 9 版、ニューヨーク: Academic Press