ヒュームの原理

数学の基礎において、ヒュームの原理（またはHP）は、2つのオブジェクトの集合が与えられた場合、$\displaystyle {\mathcal {F}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {G}}}$プロパティ付き${\displaystyle F}$そして${\displaystyle G}$それぞれ、プロパティを持つオブジェクトの数${\displaystyle F}$プロパティを持つオブジェクトの数に等しい${\displaystyle G}$1対1対応（全単射）が存在する場合に限る$\displaystyle {\mathcal {F}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {G}}}$言い換えれば、全単射が大きさを測る「正しい」方法であるということ。

HPは、二階論理体系において形式的に表現することができる。スコットランドの哲学者デイヴィッド・ヒュームにちなんで名付けられ、ジョージ・ブーロスによって提唱された。この原理は、ゴットロープ・フレーゲの数学哲学において中心的な役割を果たしている。フレーゲは、HPと適切な算術概念の定義が、現在二階算術と呼ばれるもののすべての公理を包含することを示した。この結果はフレーゲの定理として知られ、新論理主義として知られる数学哲学の基礎となっている。

ヒュームの原理は、フレーゲの『算術の基礎』（§63）^{[ 1 ]}に登場し、デイヴィッド・ヒュームの『人間本性論』 （1740年）第1巻第3部からの引用である。

ヒュームはこの論文の中で、特に量や数の比例に関する、観念間の7つの基本的な関係を提示している。彼は、幾何学によって表される量の比例に関する推論は、その原理が感覚的現象から導き出されるため、「完全な正確さと精密さ」を達成することは決してできないと主張する。そして、そのような正確さを達成できる数や算術に関する推論と対比させている。

代数学と算術は、複雑な推論の連鎖をいくらでも進めることができ、しかも完全な正確さと確実性を保つことができる唯一の学問である。我々は、数の等価性と比例性を判断できる正確な基準を持っている。そして、数がその基準に合致するか否かに応じて、誤りの可能性なく数の関係を決定する。2つの数が、一方の数が他方の数のすべての単位に対応する単位を常に持つように組み合わされている場合、我々はそれらを等しいと宣言する。そして、空間的な広がりにおけるこのような等価性の基準が欠けているために、幾何学は完全で誤りのない学問とはほとんど見なされないのである。（I. III. I.）^{[ 2 ]}

ヒュームが「数」という言葉を、現代の一般的な「正の整数」という概念ではなく、物事の集合や集まりを意味する古代ギリシャ語の意味で用いている点に注目してください。古代ギリシャ語における数（arithmos）の概念は、単位から構成される有限の複数性です。アリストテレス『形而上学』1020a14、およびユークリッド『原論』第7巻定義1および2を参照してください。数に関する古代と現代の概念の対比については、メイベリー（2000）で詳しく論じられています。

基数を一対一対応で特徴づけるという原理は、以前ゲオルク・カントールによって用いられており、フレーゲはカントールの著作を知っていた。そのため、ヒュームの原理は「カントールの原理」または「ヒューム＝カントールの原理」と呼ぶべきだという提案がなされた。しかし、フレーゲは、カントールが基数を順序数で定義しているのに対し、フレーゲは順序数とは独立した基数の特徴づけを与えたいと考えていたという理由でカントールを批判した。しかし、カントールの見解は、公理的集合論で展開された現代の超限数理論に組み込まれている。

• Anderson, D.; Zalta, E. (2004). "Frege, Boolos, and Logical Objects" (PDF) . Journal of Philosophical Logic . 33 : 1– 26. doi : 10.1023/B:LOGI.0000019236.64896.fd . S2CID 6620015 . 
• ブーロス、ジョージ（1990）。「数の平等性の基準」。ブーロス、G.（編）『意味と方法：ヒラリー・パトナム記念論文集』所収。ケンブリッジ大学出版局、261-277頁。ISBN  978-0-521-36083-8。
• ブーロス、ジョージ（1998）。「§II. フレーゲ研究」。『論理、論理、そして論理』。ハーバード大学出版局。133–342頁。ISBN  978-0-674-53767-5。
• バージェス、ジョン（2018）[2005]。フレーゲを修正する。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-18706-8。
• ゴットロブのフレーゲ(1884)。Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch mathematische Untersuung [算術の基礎]。ブレスラウ: ヴィルヘルム・ケブナー。
• ヒューム、デイヴィッド（1739–1740）。人間本性論。
• メイベリー、ジョン・P. (2000).集合論における数学の基礎. 数学とその応用百科事典. 第 83巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-77034-7。

• スタンフォード哲学百科事典：「フレーゲの論理、定理、算術の基礎」エドワード・ザルタ著。
• 「古典数学の論理的および形而上学的基礎」
• Arche：セント・アンドリュース大学にある、論理学、言語学、数学、そして精神の哲学研究センター。