垂直と水平

天文学、地理学、および関連する科学や文脈では、特定の点を通過する方向または平面は、その点における局所的な重力方向を含む場合、垂直であると言われます。^[1]

逆に、方向または平面が垂直方向に対して垂直である場合、その方向または平面は水平（または水平）であると言われます。一般に、垂直なものは、直交座標系の y 軸のように、上から下（または下から上）に描くことができます。

水平という語はラテン語のhorizo​​nに由来し、これはギリシャ語のὁρῐ́ζωνに由来し、「分離」または「境界を示す」という意味です。^[2]垂直という語は後期ラテン語のverticalisに由来し、これはvertexと同じ語源で、「最高点」またはより文字通りには渦巻きなどの「転換点」を意味します。^[3]

ジラール・デザルグは、 1636 年の著書『遠近法』の中で、垂直を地平線に対して垂直であると定義しました。

物理学、工学、建築学では、垂直と指定される方向は通常、下げ振りがぶら下がっている方向です。あるいは、気泡の浮力と垂直に上に向かう性質を利用する水準器を使用して、水平性をテストすることもできます。水位計を使用して水平性を確立することもできます。

自動的に水平調整できる現代の回転レーザーレベルは堅牢で洗練された機器であり、同じ基本原理に基づいて動作します。^{[4] [5]}

地球の曲率を考慮すると、垂直と水平の概念は別の意味を帯びる。滑らかな球形で均質で回転しない惑星の表面では、鉛直錘は放射方向を垂直として選ぶ。厳密に言えば、垂直の壁が平行になることはもはや不可能であり、すべての垂直は交差する。この事実は、建設や土木工学において実際に実用的な応用があり、例えば吊り橋の塔の頂上は底よりも離れている。 ^[6]

また、水平面は、地球の表面上の離れた点に対する接線面である場合に交差することがあります。特に、赤道上の点に接する平面は、北極に接する平面と直角に交差します。（図を参照）。さらに、赤道面は北極の接線面と平行であるため、水平面であると主張することができます。しかし、赤道上の点にとっては、赤道面は同時に垂直面でもあります。この意味では、平面は、ある場所では水平で、別の場所では垂直であるなど、水平と垂直の両方であると言えます。

回転する地球の場合、鉛直線は緯度の関数として放射方向からずれます。^[7]赤道上と北極および南極でのみ、鉛直線は局所的な半径と一直線になります。地球は均質で滑らかな球体ではないため、状況は実際にはさらに複雑です。地球は均質ではなく、球形ではなく、ゴツゴツした運動する惑星であり、鉛直線は放射状である必要はなく、湾曲していて時間とともに変化することもあります。より小規模では、片側にある山が鉛直線を真の天頂から逸らす可能性があります。^[8]

より大きなスケールで見ると、地球の重力場は地球の近くでは少なくともほぼ放射状であるが、より高い高度にある月の影響を受けると放射状ではなくなる。^{[9] [10]}

地球の曲率を無視すると、重力下で移動する発射体の水平方向と垂直方向の運動は互いに独立している。^[11]発射体の垂直方向の変位は発射速度の水平成分の影響を受けず、逆に水平方向の変位は垂直成分の影響を受けない。この概念は少なくともガリレオの時代まで遡る。^[12]

地球の曲率を考慮すると、2つの運動の独立性は保たれません。たとえば、水平方向に発射された（つまり、垂直成分がゼロの）発射体でさえ、球状の地球の表面を離れ、実際には完全に逃げてしまう可能性があります。^[13]

ユークリッド平面上の1次元直交直交座標系の文脈では、線が水平か垂直かを言うには、最初の指定を行う必要があります。通常Y方向と呼ばれる垂直方向を指定することから始めることができます。^[14]通常X方向と呼ばれる水平方向^[15]は、自動的に決定されます。または、逆にx軸を指定することもできます。その場合、y軸が自動的に決定されます。最初の指定として水平を垂直よりも選択する特別な理由はありません。この点では2つの方向は同等です。

2次元の場合、次のことが当てはまります。

1. 平面内の任意の点 P を通る垂直線は平面内に 1 本だけ存在し、平面内には水平線も 1 本だけ存在します。この対称性は、3 次元の場合に移ると崩れます。
2. 垂直線と は、垂直方向に平行な線です。水平線とは、垂直線に対して垂直な線です。
3. 水平線は互いに交差しません。
4. 垂直線は互いに交差しません。

これらの基本的な幾何学的事実のすべてが 3D コンテキストで当てはまるわけではありません。

3 次元の場合、状況はより複雑になります。水平線と垂直線に加えて、水平面と垂直面が存在するからです。点 P を考え、P を通る方向を垂直と指定します。P を含み、指定方向に垂直な平面は、 P における水平面です。P を通り、水平面に垂直な任意の平面は、 P における垂直平面です。任意の点 P を通る水平面は 1 つだけですが、垂直面は複数あります。これは、3 次元で現れる新しい特徴です。2 次元の場合に存在する対称性は、もはや維持されません。

2 次元の場合、すでに述べたように、垂直の通常の指定は座標幾何学のy 軸と一致します。この慣習は教室で混乱を引き起こす可能性があります。おそらくホワイト ボードに書いている教師にとって、 y軸は鉛直線の垂直性の意味で実際に垂直ですが、生徒にとっては軸が水平なテーブル上にある可能性があります。

「水平」という言葉は日常生活や言語でよく使われますが（下記参照）、誤解されることが多いです。

• 水平性の概念は、明らかに測定可能な重力場、つまり惑星や恒星などの「近傍」のコンテキストでのみ意味を持ちます。重力場が非常に弱くなると（質量が小さすぎるか、関心のあるポイントから遠すぎる場合）、水平であるという概念は意味を失います。

• 平面は、選択した点においてのみ水平になります。2 つの異なる点における水平面は平行ではなく、交差します。
• 一般に、水平面が垂直方向に対して垂直になるのは、両方が同じ点に関して具体的に定義されている場合のみです。つまり、方向は基準点でのみ垂直になります。したがって、水平性と垂直性は厳密に言えば両方ともローカルな概念であり、方向または平面がどの場所を指すかを常に指定する必要があります。(1) 同じ制限が平面内に含まれる直線に適用されます。直線は基準点でのみ水平であり、(2) 平面内に含まれるが基準点を通らない直線は、どこでも必ずしも水平であるとは限りません。

• 現実には、地球のような不均質な惑星の重力場は、密度の異なる物質の不均質な空間分布のために変形します。したがって、実際の水平面は、たとえそれらの基準点が同じ垂直線に沿っていたとしても、垂直線がわずかに曲がっているため、平行でさえありません。
• 任意の場所において、重力の総量は時間の経過とともに一定ではありません。これは、重力を発生させる物体が動いているからです。たとえば、地球では、特定の地点の水平面 (水準器で決定)は、月の位置 (空気、海、陸の潮汐) によって変化します。
• 地球のように自転する惑星では、惑星（および月、太陽などの他の天体）の厳密な重力は、実験室や現場で測定できる見かけの正味の力（たとえば、自由落下する物体に対する力）とは異なります。この差が、惑星の自転に関連する遠心力です。これは架空の力であり、地球の表面などの非慣性参照系で計算や実験が行われる場合にのみ発生します。

一般的に、または実際には、水平なものは、直交座標系の x 軸のように、左から右 (または右から左) に描くことができます。^{[引用が必要]}

このように、水平面の概念は決して単純ではありませんが、実際には、これらの影響と変動のほとんどはむしろ小さいものです。それらは測定可能であり、非常に正確に予測できますが、私たちの日常生活に大きな影響を与えない可能性があります。

概念の見かけの単純さと、それを科学的な用語で定義（および測定）する際の実際の複雑さとの間のこの二分法は、日常生活で関連する典型的な線形スケールと次元が地球の大きさよりも 3桁（またはそれ以上）小さいという事実から生じます。したがって、世界は局所的に平らに見え、近くの場所の水平面は平行に見えます。ただし、このような記述は近似値であり、特定のコンテキストまたはアプリケーションで受け入れられるかどうかは、特に精度の点で、該当する要件によって異なります。描画や製図、長方形の紙での座標幾何学などのグラフィカルなコンテキストでは、紙全体が水平な（または傾斜した）テーブルの上に置かれている場合でも、紙の寸法の 1 つを水平線と関連付けることは非常に一般的です。この場合、水平方向は通常、紙の左側から右側になります。これは完全に慣習的なものであり（現実に見られる自然の風景を描くときには、ある意味「自然」ではありますが）、特に教育の文脈では、誤解や誤った認識につながる可能性があります。

• ブレナン、デイビッド A.; エスプラン、マシュー F.; グレイ、ジェレミー J. (1998)、『幾何学』、ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-59787-0 
• マレー・R・シュピーゲル（1987年）、理論力学の理論と問題、シンガポール、マグロウヒルズ：シャウムズ、ISBN 0-07-084357-0 

• 用語のビデオ説明