ホモトピー余極限と極限

数学、特に代数的位相幾何 学において、ホモトピー極限と余極限^{[1]は、ホモトピー}圏に拡張された極限と余極限の概念の変形である。主な考え方は次の通りである。図がある場合${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}})}$

${\displaystyle F:I\to {\textbf {トップ}}}$

を図形のホモトピー圏の対象として考えると（図形のホモトピー同値性は点ごとに考慮される）、ホモトピー極限と余極限は円錐と余円錐に対応する。${\displaystyle F\in {\text{Ho}}({\textbf {Top}}^{I})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\leftarrow I}{\text{Holim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\\{\underset {\rightarrow I}{\text{Hocolim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\end{aligned}}}$

これらはホモトピー圏 の対象であり、 は1 つの対象と 1 つの射を持つ圏です。この圏は標準ホモトピー圏と同値であることに注意して下さい。後者のホモトピー関手圏は の対象を取り出す関手を持ち、自然変換は位相空間の連続関数に対応するからです。この構成はモデル圏に一般化でき、これは導来圏などの他のホモトピー圏を用いてホモトピー極限と余極限を構成する手法を与えることに注意してください。この種の構成を形式化する別の観点は、ホモトピー代数の新しい枠組みである導関数^{[2] pg 193}です。 ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}}^{*})}$${\displaystyle *}$${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}})}$${\displaystyle {\text{トップ}}}$

ホモトピーコリミットの概念^{[1] pg4-8は、}コファイブレーションを定義するために使用されるマッピングシリンダーなどのホモトピープッシュアウトの一般化です。この概念は、次の観察に基づいています。（通常の）プッシュアウト

${\displaystyle D^{n}\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

は、（ n −1）次元球面（ n次元円板の境界）を一点に縮約して得られる空間である。この空間はn次元球面^Snに同相である。一方、プッシュアウト

${\displaystyle pt\sqcup _{S^{n-1}}pt}$

は点です。したがって、(収縮可能な)ディスクD ^{n が}点(ディスクとホモトピー同値)に置き換えられたとしても、2つのプッシュアウトはホモトピー同値(または弱同値)ではありません 。

したがって、プッシュアウトは、弱同値空間が同じ情報を持っているとみなすホモトピー理論の原理とはあまり一致しません。プッシュアウトを形成するために使用される空間の 1 つ (または複数) が弱同値空間に置き換えられた場合、プッシュアウトが弱同値のままであることが保証されません。ホモトピー プッシュアウトは、この欠陥を修正します。

位相空間の 2つの写像のホモトピー押し出しは次のように定義される。${\displaystyle A\leftarrow B\rightarrow C}$

${\displaystyle A\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}B\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}C}$、

つまり、 B をAとC の両方に貼り付けるのではなく、B上の円筒の2つのコピーを互いに貼り付け、その端をAとCに貼り付けます。たとえば、図のホモトピー極限（そのマップは射影です）

${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

は結合 です。 ${\displaystyle X_{0}*X_{1}}$

ホモトピープッシュアウトは通常のプッシュアウトの欠点を共有していないことが示されます。つまり、 A、B、および/またはC をホモトピック空間に置き換えると、ホモトピープッシュアウトもホモトピックになります。この意味で、ホモトピープッシュアウトは、（通常の）プッシュアウトが同相空間を扱うのと同じように、ホモトピー空間を扱います。

ホモトピー余極限のもう一つの有用で興味深い例は、図のホモトピー余極限のモデルを構築することである。

${\displaystyle A\xrightarrow {f} X\xrightarrow {g} Y}$

位相空間の極限をモデル化する方法はいくつかある。まず、空間

${\displaystyle \left[(A\times I)\coprod (X\times I)\coprod Y\right]/\sim }$

同値関係はどこにあるか${\displaystyle \sim}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,1)&\sim (f(a),0)\\(x,1)&\sim g(x)\end{aligned}}}$

これは絵で表現すると

同様に上の図を可換図として解釈できるので、カテゴリの性質から可換図が得られる。

ホモトピー余極限を与える。これは次のように推測できる。

しかし、合成の新しいデータを埋めるために新しいサイクルを導入したことに注目してください。これは、ホモトピー余極限のモデルを構築する方法を与えるという、単体的手法を使用して解決できる技術的な問題を生み出します。合成図のホモトピー余極限を図式的に形成する新しい図は、次のように表されます。

は、上記に示した元の図（の合成なし）とホモトピー同値であるホモトピー余極限の別のモデルを与えます。 ${\displaystyle g\circ f}$

空間列のホモトピー極限

${\displaystyle X_{1}\to X_{2}\to \cdots ,}$

はマッピング望遠鏡です。^[3]計算例の1つは、コファイブレーションのシーケンスのホモトピー余極限を取ることです。 ^{[1] pg 62}この図の余極限はホモトピー余極限を与えます。これは、マップをコファイブレーションに置き換えることで、任意のマッピング望遠鏡のホモトピー余極限を計算できることを意味します。

マッピングテレスコープやホモトピープッシュアウトなどの例を同等に扱うには、空間のI図（ Iは何らかの「インデックス」カテゴリ）を考慮する必要があります。これは関数です。

${\displaystyle X:I\to スペース、}$

すなわち、I内の各オブジェクトiに空間X _{i を}割り当て、 I内の写像に従ってそれらの間を写像する。このような図のカテゴリは空間^Iと表記される。

対角線と呼ばれる自然な関数があり、

${\displaystyle \Delta _{0}:Spaces\to Spaces^{I}}$

これは、任意の空間Xを、 Xがどこにでもある図式（およびそれらの間の写像としてのXの恒等式）に写す。（通常の）圏論では、この関手の右随伴は極限である。ホモトピー極限は、この状況を変更することによって定義される。それは、

${\displaystyle \Delta :Spaces\to Spaces^{I}}$

これは空間XをI図に送り、あるオブジェクトiにおいて

${\displaystyle X\times |N(I/i)|}$

ここでI / iはスライスカテゴリ（そのオブジェクトは矢印j → i、jはIの任意のオブジェクト）であり、Nはこのカテゴリの神経であり、|-|はこの単体集合の位相的実現である。^[4]

同様に、上記の対角関数Δ ₀の左随伴関数として余極限を定義することができます。ホモトピー余極限を定義するには、Δ _{0 を}別の方法で変更する必要があります。ホモトピー余極限は、関数Δ : Spaces → Spaces ^Iの左随伴関数として定義できます。ここで

Δ( X )( i ) = Hom_空間(| N ( I ^op / i ) |, X )、

ここで、I ^{op は}Iの反対カテゴリです。これは上記の関数Δと同じではありませんが、神経カテゴリの幾何学的実現 ( | N (-) | ) を点空間に置き換えると、元の関数Δ ₀が回復されるという特性を共有しています。

ホモトピープルバック（またはホモトピーファイバー積）は、ホモトピープッシュアウトの双対概念である。これは、ホモトピーまでのプルバックの普遍的性質を満たす。^[要出典]具体的には、およびが与えられた場合、次のように構築できる。 ${\displaystyle f:X\to Z}$${\displaystyle g:Y\to Z}$

${\displaystyle X\times _{Z}^{h}Y:=X\times _{Z}Z^{I}\times _{Z}Y=\{(x,\gamma ,y)|f(x)=\gamma (0),g(y)=\gamma (1)\}.}$^[5]

例えば、点y上ののホモトピーファイバーはに沿ったのホモトピープルバックです。^[5]恒等式に沿ったのホモトピープルバックは のマッピングパス空間に他なりません。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y\hookrightarrow Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ホモトピー プルバックの普遍的性質により、極限からホモトピー極限への自然写像の特殊なケースである自然写像 が生成されます。ホモトピー ファイバーの場合、この写像はファイバーをホモトピー ファイバーに含めるものです。 ${\displaystyle X\times _{Z}Y\to X\times _{Z}^{h}Y}$

小さなカテゴリと図が与えられれば、図の単体的置換を用いてホモトピー極限を構成することができる。これは、図^{[1] pg 16-17で与えられる単体的空間である。}${\displaystyle I}$${\displaystyle D:I\to {\textbf {トップ}}}$${\displaystyle {\text{srep}}(D)_{\bullet}}$

どこ

${\displaystyle {\text{srep}}(D)_{n}={\underset {i_{0}\leftarrow i_{1}\leftarrow \cdots \leftarrow i_{n}}{\coprod }}D(i_{n})}$

は、インデックスカテゴリ における合成可能写像の連鎖によって与えられる。すると、 のホモトピー余極限は、この単体空間の幾何学的実現として構成できるので、${\displaystyle I}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}D=|{\text{srep}}(D)_{\bullet }|}$

これは、 の組成図として上に示した図と一致することに注目してください。 ${\displaystyle A\to X\to Y}$

地図は常に存在する

${\displaystyle \mathrm {hocolim} X_{i}\to \mathrm {colim} X_{i}.}$

通常、この写像は弱い同値ではありません。たとえば、上で見たホモトピー プッシュアウトは常に通常のプッシュアウトに写像されます。この写像は通常弱い同値ではありません。たとえば、結合は点である のプッシュアウトと弱同値ではありません。 ${\displaystyle X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}}$

リングを完成させるために limit が使用されるのと同様に、スペクトルを完成させるために holim が使用されます。

• 派生語
• ホモトピーファイバー
• ホモトピーコファイバー
• カテゴリーのコホモロジー
• ホモトピー余極限のスペクトル列

• ホモトピー余極限入門
• 小さなカテゴリのカテゴリにおけるホモトピー余極限
• カテゴリーとオービスペース
• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0。

• 安定モデルカテゴリにおけるホモトピー極限-余極限図
• pg.80 ホモトピー余極限と極限