ヒルベルトのグランドホテルのパラドックス

ゲストを部屋に案内する${\displaystyle i}$部屋へ$2i$そして最初の客車の荷物を部屋に運び入れる$3n$2番目の客車の客室数$5n$一般的にコーチ番号${\displaystyle c}$私たちは部屋を使用します${\displaystyle p_{c}^{n}}$どこ${\displaystyle p_{c}}$は${\displaystyle c}$奇数の素数。この解決策では、特定の部屋が空室になります（ホテルにとって有用である場合もそうでない場合もあります）。具体的には、 15 や 847 など、素数のべき乗ではないすべての数字は、もはや使用されなくなります。

厳密に言えば、これは到着者数が空室数以下であることを示しています。しかし、全射（例えばバスの番号への写像）を用いることで、到着者数が空室数以上であることも容易に示せ、したがって、空室があるにもかかわらず、到着者数と空室数は等しいことが分かります。

アルゴリズムは、${\displaystyle n}$そして${\displaystyle c}$しかし、どちらの選択をするにしても、それは全体を通して一律に適用されなければならない。

特定の席の各人${\displaystyle n}$そしてコーチ${\displaystyle c}$部屋に置くことができます$2^n3c$(既にホテルにいる人についてはc = 0、最初のバスについては 1 などと仮定します)。すべての数字は一意の素因数分解を持つため、全員が部屋を与えられ、2 人が同じ部屋になることはないことが容易にわかります。たとえば、2592 号室の人は ($2534$）は4両目の客車の5番目の席に座っていた。素数のべき乗法と同様に、この解法でも特定の部屋が空席となる。（特に、2と3以外の素数で割り切れる数を持つ部屋はすべて空席となる。）

この方法は、無限の日付、無限の入場などにも簡単に拡張できます。${\displaystyle 2^{n}3^{c}5^{d}7^{e}...}$）、素数は無限に存在するため。各数には固有の素因数分解があるため、これによりすべての部屋が埋まります。

各乗客について、${\displaystyle n}$そして${\displaystyle c}$10進数などの任意の位取り記数法で表記します。（各ホテル宿泊客は0号車に乗っているものとします。）どちらかの数字が短い場合は、両方の値の桁数が同じになるまで先頭にゼロを追加します。数字を交互に並べて部屋番号を作成します。部屋番号の桁は、[車両番号の最初の桁]-[座席番号の最初の桁]-[車両番号の2番目の桁]-[座席番号の2番目の桁]-…となります。部屋番号1729のホテル（車両0）の宿泊客は、部屋番号01070209（つまり、部屋番号1,070,209）に移動します。車両番号789の座席番号1234の乗客は、部屋番号01728394（つまり、部屋番号1,728,394）に移動します。2つの番号の役割は、一貫して適用される限り、逆転させることができます（座席番号が奇数で車両番号が偶数）。

素数のべき乗による解法とは異なり、この解法ではホテル全体を完全に埋めることができ、インターリーブ処理を逆に行うことで、ゲストの元の車両番号と座席番号を再構築できます。手順は次のとおりです。まず、部屋の桁数が奇数の場合は先頭にゼロを追加します。次に、番号を2つの番号に分解します。車両番号は奇数桁で構成され、座席番号は偶数桁で構成されます。

既にホテルに滞在している方は、別の部屋に移動されます。${\displaystyle (n(n+1))/2}$または${\displaystyle n}$番目の三角数。コーチに乗っている人は部屋に入ります${\displaystyle ((c+n-1)(c+n))/2+n}$または${\displaystyle (c+n-1)}$三角数プラス${\displaystyle n}$こうすることで、すべての部屋には必ず1人ずつ、合計2人の宿泊客が入ることになります。そして、この手順を逆に行うことで、元の客車と座席を特定することができます。

このペアリング機能は、ホテルを奥行きが1部屋、高さが無限に高いピラミッドとして構造化することで視覚的に説明できます。ピラミッドの最上段は1部屋（部屋1）で、2段目は部屋2と部屋3、といった具合です。右端の部屋で構成される列は、三角数に対応します。これらの部屋が（ホテルの宿泊客によって）埋まると、残りの空室は元のピラミッドと全く同じ形になります。したがって、帰納法により、このプロセスを各バスに対して繰り返すことができます。各バスに対して1つずつこの作業を行うと無限のステップが必要になりますが、前述の公式を使用すれば、各宿泊客は有限のステップで自分の部屋番号を計算し、そこへ行くことができます。

させて${\displaystyle S:=\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb {N} \}}$。${\displaystyle S}$は可算名詞です。${\displaystyle \mathbb {N} }$は可算であるため、その要素を列挙することができる。${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots }$.今もし${\displaystyle s_{n}=(a,b)}$割り当てる${\displaystyle b}$の 番目のゲスト${\displaystyle a}$コーチから${\displaystyle n}$th 室 (既にホテルに滞在しているゲストをゲストとみなす)${\displaystyle 0}$（ th コーチ）。このようにして、各人を部屋に割り当てる関数ができました。さらに、この割り当てでは部屋を飛ばすことはありません。