リンデロフ空間

数学において、リンデレーフ空間^{[ 1 ] [ 2 ]}は、すべての開被覆が可算部分被覆を持つ位相空間である。リンデレーフ性は、有限部分被覆の存在を必要とする、より一般的に用いられるコンパクト性の概念を弱めたものである。

A遺伝的にリンデレーフ空間^{[ 3 ]}は、すべての部分空間がリンデレーフである位相空間です。このような空間は、強いリンデレーフ空間とが、その用語は著者によって異なる意味を与えられています。 ^{[ 4 ]}遺伝的にリンデレーフという 用語の方が一般的で曖昧さがありません。

リンデレーフ空間は、フィンランドの数学者エルンスト・レオンハルト・リンデレーフにちなんで名付けられました。

• すべてのコンパクト空間、より一般的にはすべてのσコンパクト空間はリンデレーフ空間である。特に、すべての可算空間はリンデレーフ空間である。
• リンデレーフ空間は、可算コンパクトである場合に限りコンパクトである。
• すべての第二可算空間はリンデレーフ空間であるが^{[ 5 ]}、逆はそうではない。例えば、第二可算ではないコンパクト空間は多数存在する。
• 距離空間がリンデレーフであるのは、それが可分である場合と、それが第二可算である場合とに限る。^{[ 6 ]}
• すべての正則リンデレーフ空間は正規である。^{[ 7 ]}
• すべての正則リンデレーフ空間はパラコンパクトである。^{[ 8 ]}
• 位相空間のリンデレーフ部分空間の可算個の和集合はリンデレーフ空間である。
• リンデレーフ空間のすべての閉部分空間はリンデレーフである。^{[ 9 ]} その結果、リンデレーフ空間のすべてのFσ_集合はリンデレーフである。
• リンデレーフ空間の任意の部分空間はリンデレーフ空間である必要はない。^{[ 10 ]}
• リンデレーフ空間の連続像はリンデレーフである。^{[ 11 ]}
• リンデレーフ空間とコンパクト空間の積はリンデレーフ空間である。^{[ 12 ]}
• リンデレーフ空間とσコンパクト空間の積はリンデレーフ空間となる。これは前の性質の系である。
• 2つのリンデレーフ空間の積は必ずしもリンデレーフ空間になるとは限りません。例えば、ソルゲンフライ線${\displaystyle S}$リンデレーフだが、ソルゲンフレイの飛行機は${\displaystyle S\times S}$リンデレーフではない。^{[ 13 ]}
• リンデレーフ空間では、局所的に有限な空でない部分集合の族は、高々可算である。

• 空間が遺伝的にリンデレーフであるのは、その空間のすべての開部分空間がリンデレーフである場合に限る。^{[ 14 ]}
• 遺伝的にリンデレーフ空間は、可算個の和集合、部分空間、および連続像をとることに関して閉じている。
• 正則リンデレーフ空間は、それが完全に正規である場合に限り、遺伝的にリンデレーフである。^{[ 15 ] [ 16 ]}
• 第二可算空間はすべて遺伝的にリンデレーフである。
• 数えられる空間はすべて、遺伝的にリンデレーフである。
• ススリン空間はすべて、遺伝的にリンデレーフ的である。
• 遺伝的にリンデレーフ空間におけるすべてのラドン測定値は調整される。

リンデレーフ空間の積は必ずしもリンデレーフ空間とは限らない。その典型的な例はゾルゲンフライ平面である。${\displaystyle \mathbb {S} ,}$これは実数直線の積です${\displaystyle \mathbb {R} }$半開区間トポロジーの下で、それ自身との比較。ソルゲンフレイ平面の開集合は、南と西の辺を含み、北と東の辺を省略した半開長方形の和集合であり、北西、北東、南東の角を含みます。${\displaystyle \mathbb {S} }$点の集合${\displaystyle (x,y)}$そのため${\displaystyle x+y=0.}$

開放的な覆いについて考えてみましょう${\displaystyle \mathbb {S} }$構成要素は以下のとおりです。

1. すべての長方形の集合${\displaystyle (-\infty ,x)\times (-\infty ,y),}$どこ${\displaystyle (x,y)}$は反対対角線上にある。
2. すべての長方形の集合${\displaystyle [x,+\infty )\times [y,+\infty ),}$どこ${\displaystyle (x,y)}$は反対対角線上にある。

ここで注目すべき点は、対角線上の各点が被覆のちょうど１つの集合に含まれているため、上記の項目（２）のすべての（非可算個の）集合が必要になるということです。

別の見方としては${\displaystyle S}$リンデレーフの指摘は、反対角線が閉じた非可算離散部分空間を定義するということではない。${\displaystyle S.}$この部分空間はリンデレーフ空間ではないため、空間全体もリンデレーフ空間にはなり得ません（リンデレーフ空間の閉部分空間もリンデレーフ空間であるため）。

以下の定義はコンパクトとリンデレーフの定義を一般化したものである。位相空間とは${\displaystyle \kappa }$-コンパクト（または${\displaystyle \kappa }$-リンデレーフ）、${\displaystyle \kappa }$は任意の基数である。すべての開被覆が、より厳密に小さい基数の部分被覆を持つ場合。${\displaystyle \kappa }$コンパクトは$\displaystyle \aleph _{0}}$-コンパクトで、リンデレーフは$\displaystyle \aleph _{1}}$-コンパクト。

のリンデロフ度、またはリンデロフ数${\displaystyle l(X),}$最小の基数${\displaystyle \kappa }$空間のすべての開口部が${\displaystyle X}$最大サイズがサブカバーになっている${\displaystyle \kappa .}$この表記では、${\displaystyle X}$リンデレーフであれば${\displaystyle l(X)=\aleph _{0}.}$上記で定義したリンデレーフ数は、コンパクト空間とリンデレーフ非コンパクト空間を区別しません。一部の著者は、リンデレーフ数を別の概念に与えています。最小の基数${\displaystyle \kappa }$空間のすべての開口部が${\displaystyle X}$サブカバーのサイズは厳密に以下${\displaystyle \kappa .}$^{[ 17 ]}この後者の（あまり使われない）意味では、リンデレーフ数は最小の基数である。${\displaystyle \kappa }$位相空間${\displaystyle X}$は${\displaystyle \kappa }$-コンパクト。この概念は、空間のコンパクトさの度合い${\displaystyle X.}$^{[ 18 ]}

• 可算性の公理
• リンデレーフの補題

• Engelking、Ryszard、『一般トポロジー』、ヘルダーマン出版ベルリン、1989。ISBN 3-88538-006-4
• I. Juhász (1980).位相幾何学における基数関数 ― 10年後. Math. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-196-3。
• マンクレス、ジェームズ。『トポロジー』第2版。
• スティーン、リン・アーサー；シーバック、J・アーサー・ジュニア（1995）[1978]。トポロジーにおける反例（1978年版のドーバー 復刻版）。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 . 
• ウィラード、スティーブン。『一般トポロジー』、ドーバー出版（2004年）ISBN 0-486-43479-6

• https://dantopology.wordpress.com/2012/05/03/when-is-a-lindelof-space-normal/