ヘインズ・ショックレー実験

半導体物理学において、ヘインズ・ショックレーの実験は、半導体中の少数キャリアの拡散が電流をもたらすことを実証した実験である。この実験は1948年にヘインズとショックレーによって短い論文として報告され、^[1]より詳細なバージョンが1949年にショックレー、ピアソン、ヘインズによって出版された。^{[2] [3]この実験は、キャリア}移動度、キャリア寿命、拡散係数 を測定するために使用できる。

実験では、半導体片に、例えば電圧や短いレーザーパルスによって誘起される正孔のパルスが与えられます。

この効果を確認するために、長さdのn 型半導体を考えます。キャリアの移動度、拡散定数、緩和時間を決定することに関心があります。以下では、問題を 1 次元に縮小します。

電子電流と正孔電流の方程式は次のとおりです。

${\displaystyle j_{e}=+\mu _{n}nE+D_{n}{\frac {\partial n}{\partial x}}}$

${\displaystyle j_{p}=+\mu _{p}pE-D_{p}{\frac {\partial p}{\partial x}}}$

ここで、jは電子 ( e ) と正孔 ( p ) の電流密度、μは電荷キャリアの移動度、Eは電界、nとp は電荷キャリアの数密度、Dは拡散係数、xは位置です。方程式の最初の項はドリフト電流、2 番目の項は拡散電流です。

連続方程式を考えます:

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {-(n-n_{0})}{\tau _{n}}}+{\frac {\partial j_{e}}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {-(p-p_{0})}{\tau _{p}}}-{\frac {\partial j_{p}}{\partial x}}}$

下付き文字の 0 は平衡濃度を示します。電子と正孔はキャリアの寿命 τ で再結合します。

私たちは定義します

${\displaystyle p_{1}=p-p_{0}\,,\quad n_{1}=n-n_{0}}$

したがって、上の式は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle {\frac {\partial p_{1}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}p_{1}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p_{1}}{\partial x}}-{\frac {p_{1}}{\tau _{p}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{1}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{1}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{1}}{\partial x}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{n}}}}$

簡単な近似では、左右の電極間の電界は一定であるとみなし、∂ E /∂ x は無視できます。しかし、電子と正孔は異なる速度で拡散するため、物質は局所的な電荷を持ち、ガウスの法則で計算できる不均一な電界を誘導します。

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial x}}={\frac {\rho }{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}((p-p_ {0})-(n-n_{0}))}{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}(p_{1}-n_{1})}{\epsilon \epsilon _{0}}}}$

ここで、ε は誘電率、ε _{0 は}自由空間の誘電率、ρ は電荷密度、e _{0 は}素電荷です。

次に、置換によって変数を変更します。

${\displaystyle p_{1}=n_{\text{mean}}+\delta \,,\quad n_{1}=n_{\text{mean}}-\delta \,,}$

δ が よりはるかに小さいと仮定します。2つの初期方程式は次のようになります。 ${\displaystyle n_{\text{平均}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{p}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{n}}}}$

アインシュタインの関係式（β は 温度とボルツマン定数の積の逆数）を使用すると、次の 2 つの方程式を組み合わせることができます。 ${\displaystyle \mu =e\beta D}$

${\displaystyle {\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D^{*}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu ^{*}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau ^{*}}},}$

ここで、D *、μ*、τ*は次式で成り立ちます。

${\displaystyle D^{*}={\frac {D_{n}D_{p}(n+p)}{pD_{p}+nD_{n}}}}$、そして${\displaystyle \mu ^{*}={\frac {\mu _{n}\mu _{p}(n-p)}{p\mu _{p}+n\mu _{n}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{\tau ^{*}}}={\frac {p\mu _{p}\tau _{p}+n\mu _{n}\tau _{n}}{\tau _{p}\tau _{n}(p\mu _{p}+n\mu _{n})}}.}$

n >> pまたはp → 0 (少数のホールのみが注入された半導体の場合、これは妥当な近似値です) を考慮すると、 D * → D _p、 μ* → μ _p、 1/τ* → 1/τ _pとなります。半導体は、ホールのみが移動しているかのように動作します。

キャリアの最終的な方程式は次のようになります。

${\displaystyle n_{\text{mean}}(x,t)=A{\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{*}t}}}e^{-t/\tau ^{*}}e^{-{\frac {(x+\mu ^{*}Et-x_{0})^{2}}{4D^{*}t}}}}$

これは、パルスの直後に生成されるディラックのデルタ関数として解釈できます。その後、ホールは検出される電極に向かって移動し始めます。信号はガウス曲線の形になります。

パラメータ μ、D、τ は信号の形状から取得できます。

${\displaystyle \mu ^{*}={\frac {d}{Et_{0}}}}$

${\displaystyle D^{*}=(\mu ^{*}E)^{2}{\frac {(\delta t)^{2}}{16ln(2)t_{0}}}}$

ここで、_dは時間t0におけるドリフト距離、δtはパルス幅です。

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• ヘインズ・ショックレー実験をシミュレートするアプレット 2017-03-19 にWayback Machineでアーカイブ
• 元の実験を説明するビデオ
• HS実験への教育的アプローチ