逆正接級数

数学において、逆正接級数（アークタンジェントきょうすう、英: arctangent series）は、伝統的にグレゴリー級数と呼ばれ、アークタンジェント関数の原点におけるテイラー級数展開である。^[1]

${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}$

この級数は、を除いて複素円板上で収束します(ただし)。${\displaystyle |x|\leq 1,}$${\displaystyle x=\pm i}$${\displaystyle \arctan \pm i=\infty }$

逆正接級数は、14世紀にインドの数学者で ケーララ学派の創始者であるサンガマグラマのマーダヴァ（ 1340年頃- 1425年頃）によって初めて発見され、ニーラカンタ・ソーマヤージ（1500年頃）やジェシュタデーヴァ（1530年頃）の現存する著作にも記述されている。マーダヴァの著作はヨーロッパでは知られておらず、逆正接級数は1671年にジェームズ・グレゴリー、 1673年にゴットフリート・ライプニッツによってそれぞれ独立に再発見された。 ^[2]近年の文献では、逆正接級数はマーダヴァの優先性を認めてマーダヴァ・グレゴリー級数と呼ばれることがある（マーダヴァ級数も参照）。^[3]

⁠ ⁠${\displaystyle 1}$の逆正接の特殊なケースは、伝統的にπのライプニッツの公式と呼ばれ、最近ではマダヴァ・ライプニッツの公式と呼ばれることもあります。

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{ 7}}}+\cdots .}$

の逆正接級数の収束が非常に遅いため、この公式は本質的に実用的ではありません。ケララ学派の数学者は、収束を早めるために追加の補正項を使用しました。ジョン・マシン (1706) は、⁠ ⁠ を小さな値の逆正接の和として表現し、最終的に⁠ ⁠に対するマシンのようなさまざまな公式をもたらしました。アイザック・ニュートン(1684) や他の数学者は、さまざまな変換によって級数の 収束を加速しました。${\displaystyle |x|\approx 1}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$${\displaystyle \pi}$

ならば導関数 は${\displaystyle y=\arctan x}$${\displaystyle \tan y=x.}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec ^{2}y=1+\tan ^{2}y.}$

逆数を取ると、

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}y}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

これは逆正接の定義として時々使用されます:

${\displaystyle \arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}.}$

のマクローリン級数は等比級数である: ${\textstyle x\mapsto \arctan 'x=1{\big }}\left(1+x^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{k}.}$

項ごとに単純に積分することで、 マクローリン級数を求めることができます。${\displaystyle \arctan }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}&=\int _{0}^{x}\left(1-u^{2}+u^{4}-u^{6}+\cdots \right)du\\[5mu]&=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.\end{aligned}}}$

これは正しい結果であるが、積分と無限和は常にこのように交換できるわけではない。左辺の積分が右辺の和に収束することを証明するために、代わりに有限和として書くことができる。^[4]${\displaystyle |x|\leq 1,}$ ${\displaystyle \arctan '}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-\cdots +{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{N}+{\frac {{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+x^{2}}}.}$

再び両者を統合すると、

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}=\sum _{k=0}^{N}{\frac {(-1) ^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}+\int _{0}^{x}{\frac {{\bigl (}{-u^{2}}{\bigr) )}{}^{N+1}}{1+u^{2}}}\,du.}$

右辺の積分がゼロに近づく極限では、 ${\displaystyle N\to \infty ,}$${\displaystyle |x|\leq 1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Biggl |}\int _{0}^{x}{\frac {{\bigl (}{-u^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+u^{2}}}\,du\,{\Biggr |}\,&\leq \int _{0}^{1}{\frac {u^{2N+2}}{1+u^{2}}}\,du\\[5mu]&<\int _{0}^{1}u^{2N+2}du\,=\,{\frac {1}{2N+3}}\,\to \,0.\end{aligned}}}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.\end{aligned}}}$

およびの級数は複素円板 内で収束します。ここで、両方の関数は正則です。 のとき、極が存在するため、については発散します。 ${\textstyle \arctan '}$${\displaystyle \arctan }$${\displaystyle |x|<1}$${\displaystyle |x|>1}$${\displaystyle x=\pm i}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+i^{2}}}={\frac {1}{1-1}}={\frac {1}{0}}=\infty .}$

部分和が値の間を交互に変化し、決して値に収束しない場合${\displaystyle x=\pm 1,}$${\textstyle \sum _{k=0}^{n}(-x^{2})^{k}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1,}$${\textstyle \arctan '(\pm 1)={\tfrac {1}{2}}.}$

しかし、その項ごとの積分では、 の級数はのときに（かろうじて）収束します。なぜなら、 はその級数と の点でのみ一致しないからです。したがって、十分な数の項を取ることで、積分の差を任意に小さくすることができます。 ${\textstyle \arctan ,}$${\displaystyle x=\pm 1,}$${\displaystyle \arctan '}$${\displaystyle \pm 1,}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{1}{\biggl (}{\frac {1}{1+u^{2}}}-\sum _{k=0}^{N}(-u^{2})^{k}{\biggr )}du=0}$

ライプニッツの公式は、収束が非常に遅いため（10 桁の正しい 10 進数を得るのに 50 億項かかる）、計算にはあまり効果的で実用的な方法ではありません。この遅い収束を回避する方法を見つけることは、数学的に大きな関心を集めてきました。 ${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$

アイザック・ニュートンは1684年に逆正接級数の 収束を加速した（未発表の研究で、他の人が独立して結果を発見し、後にレオンハルト・オイラーの1755年の教科書で普及した。オイラーは1779年に2つの証明を書いた）。その結果、^[5]${\textstyle |x|<\infty ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x&={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}\,{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}\\[10mu]&={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{3}}}+{\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}{\frac {x^{7}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{4}}}+\cdots \\[10mu]&=C(x)\left(S(x)+{\frac {2}{3}}S(x)^{3}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}S(x)^{5}+{\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}S(x)^{7}+\cdots \right),\end{aligned}}}$

どこでそして${\textstyle {\vphantom {\Big |}}C(x)=1{\big /}\!{\sqrt {1+x^{2}}}={}}$${\displaystyle \cos(\arctan x)}$${\textstyle {\vphantom {\Big |}}S(x)=x{\big /}\!{\sqrt {1+x^{2}}}={}}$${\textstyle \sin(\arctan x).}$

この修正級数の各項は、複素平面に極を持つ有理関数であり、これは逆正接関数が極を持つ場所と同じです。対照的に、逆正接のテイラー級数などの多項式は、そのすべての極を無限大に強制します。 ${\displaystyle x=\pm i}$

この一連の発見を最も古くから確実に伝えている人物は、サンガマグラマのマーダヴァ（1340年頃～1425年頃）である。マーダヴァの著作の多くと同様に、原典は失われているが、彼が創始したケーララの天文学と数学の学派の後継者数名によって、この発見の功績を認められている。この一連の発見の具体的な引用としては、ニーラカンタ・ソーマヤージの『タントラサングラハ』 （1500年頃）^{[6] [7]}ジェシュタデーヴァの『ユクティバーシャ』（1530年頃）^[8]およびシャンカラ・ヴァリヤールの『ユクティ・ディピカ』注釈書の詩節2.206～2.209が挙げられる。^[9]${\displaystyle \arctan }$

• 数学シリーズの一覧
• マダヴァシリーズ

• バーググレン、レナート。ジョナサン・ボーワイン;ピーター・ボーウェイン編(2004)。Pi: ソースブック(第 3 版)。スプリンガー。土井：10.1007/978-1-4757-4217-6。ISBN 978-1-4419-1915-1。
• グプタ、ラダ・チャラン( 1973)。「マーダヴァ・グレゴリー級数」。数学教育。7 : B67 – B70。
• グプタ、ラダ・チャラン（1987年） 。「南インドの中世数学の成果」。Ganịta Bhāratī。9（1-4）：15-40。ジョードプル大学で行われた講演の延長。Ramasubramanian , K. 編 (2019) に再録。Gaṇitānanda : Radha Charan Gupta の数学史に関する選集。Springer。pp.  417– 442。doi :10.1007/978-981-13-1229-8_40。
• ミクロス、ホーバス (1983)。 「円のライプニツィアン求積法について」(PDF)。Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica)。4：75～ 83。
• ロイ、ランジャン(1990)。「ライプニッツ、グレゴリー、ニラカンタによるπの級数公式の発見」(PDF)。数学雑誌。63 ( 5 ) : 291– 306。doi : 10.1080 / 0025570X.1990.11977541。