重力列車

重力列車は、球体の内部を通って 2 点を結ぶ 直線トンネルをたどることで、球体の表面上の 2 点間を移動するための理論上の輸送手段です。

惑星のような大きな天体では、この列車は重力のみを使って加速することができます。なぜなら、旅の前半（出発点から途中まで）は、重心に向かう下向きの引力が列車を目的地に向かって引っ張るからです。旅の後半では、加速は軌道に対して反対方向になりますが、摩擦の影響を無視すると、以前に獲得した速度がこの減速を克服し、その結果、列車が目的地に到着した瞬間に列車の速度はほぼゼロになります。^{[1] [より良い情報源が必要]}

17世紀、イギリスの科学者ロバート・フックは、アイザック・ニュートンに宛てた手紙の中で、物体が惑星内部で加速するというアイデアを提示した。重力列車の計画は、 19世紀にフランス科学アカデミーに真剣に提案された。同じアイデアは、 1893年にルイス・キャロルによって『シルヴィーとブルーノの結末』の中で、計算なしに提案された。このアイデアは、物理学者ポール・クーパーがアメリカ物理学誌に将来の輸送プロジェクトとして重力列車を検討することを示唆する論文を発表した1960年代に再発見された。^[2]

均一な密度を持つ球状の惑星を仮定し、相対論的効果と摩擦を無視すると、重力列車は次の特性を持つ：^[3]

• 旅の持続時間は惑星の密度と重力定数のみによって決まり、惑星の直径には左右されません。
• 軌道の中間点で最高速度に達します。

互いに 反対の点ではない点間の重力列車については、次の式が成り立ちます。

• 均質な地球を通過する最短のタイム トンネルは、内サイクロイドです。2 つの対蹠点がある特殊なケースでは、内サイクロイドは直線に退化します。
• 特定の惑星上のすべての直線重力列車は、旅を完了するのにまったく同じ時間がかかります (つまり、軌道の 2 つの終点が表面上のどこにあるかは関係ありません)。

特に地球上では、重力列車の動きは超低軌道衛星の動きを線上に投影したものであるため、次のパラメータを持ちます。

• 地球が均一な密度の完全な球体であると仮定すると、移動時間は 2530.30 秒 (約 42.2 分、低軌道衛星の周期の半分) になります。
• 予備的な地球参照モデルから分かるように、地球内部の現実的な密度分布を考慮すると、予想される落下時間は42分から38分に短縮されます。^[4]

数字で見ると、現在最も深いボーリングホールはコラ超深度ボーリングホールで、実際の深さは 12,262 メートルです。ロンドンとパリ間の距離 (350 km) を内旋回経路でカバーするには、111,408 メートルの深さの穴を掘る必要があります。これは 9 倍の深さであるだけでなく、地球のマントルを貫通するトンネルも必要になります。

地球は完全な球体であり、密度 が均一であるという近似値と、均一な中空球内には重力がないという事実を用いると、地球内の物体が受ける重力加速度は、中心からの距離と地球の半径の比に比例します。これは、中心から離れた地下は、何も寄与しない中空球内にある、半径 の惑星の表面にいるようなものだからです。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle a={\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {G\rho V}{r^{2}}}={\frac {G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r^{3}}{r^{2}}}=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r}$

表面では、重力加速度は です。したがって、 における重力加速度は ${\displaystyle r=R}$${\displaystyle g=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,R}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle a={\frac {r}{R}}\,g}$

地球の中心を通る直線の場合、物体の加速度は重力の加速度と等しくなります。物体は真下に自由落下します。私たちは地表から落下し始めるので、時間は次のようになります(加速度と速度を下向きの正として扱います)。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle r_{t}=R-\int _{0}^{t}v_{t}\,dt=R-\int _{0}^{t}\int _{0}^{t}a_{t}\,dt\,dt}$

2 度微分する:

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=-a_{t}=-{\frac {r}{R}}\,g=-\omega ^{2}\,r}$

ここで です。ゼロからの変位に比例する復元力があるこの種の問題は、 の形式の一般解を持ち、バネや振り子などの単振動を記述します。 ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$${\displaystyle r=k\cos(\omega t+\varphi )}$

この場合、となるため、時間ゼロで表面から始まり、永遠に前後に振動します。 ${\displaystyle r_{t}=R\cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$${\displaystyle r_{0}=R}$

対蹠地への移動時間は、この振動子の1周期の半分、つまり引数がラジアンを掃引する時間です 。その時間 の簡単な近似値を使用すると、${\displaystyle \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$${\displaystyle {\pi}}$${\displaystyle g=10{\text{m}}/{\text{s}}^{2},R=6500{\text{km}}}$

${\displaystyle T={\frac {\pi }{\omega }}={\frac {\pi }{\sqrt {\frac {g}{R}}}}\approx {\frac {3.1415926}{\sqrt {\frac {10}{6500000}}}}\approx 2532{\text{ s}}}$

より一般的な球面上の任意の 2 点間の直線経路の場合、物体が直線経路に沿って 摩擦なく移動するときの加速度を計算します。

物体は AOB に沿って移動します。O は経路の中点で、この経路上で地球の中心に最も近い点です。この経路に沿った距離では、重力の力は上記のように地球の中心までの距離に依存します。長さ OC の 省略形を使用すると、次のようになります。${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b=R\sin\theta}$

${\displaystyle g_{r}={\frac {x}{R}}\,g={\frac {\sqrt {r^{2}+b^{2}}}{R}}\,g}$

物体は摩擦のない 傾斜面上にあるため、結果として生じる加速度は次のようになります。 ${\displaystyle g_{r}\cos \varphi }$

${\displaystyle a_{r}=g_{r}\cos \varphi ={\frac {\sqrt {r^{2}+b^{2}}}{R}}\,g\cos \varphi }$

しかし、なので、代入すると次のようになります。 ${\displaystyle \cos\varphi}$${\displaystyle r/x={\frac {r}{\sqrt {r^{2}+b^{2}}}}}}$

${\displaystyle a_{r}={\frac {\sqrt {r^{2}+b^{2}}}{R}}\,g\,{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+b^{2}}}}={\frac {r}{R}}\,g}$

これは、この新しい、O から AOB に沿った距離に対して、 ACD に沿った直径の場合の場合とまったく同じです。したがって、残りの解析は同じであり、最大値が完全な運動方程式で あるという初期条件を適応させます。${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R\cos \theta =AO}$

${\displaystyle r_{t}=R\cos \theta \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t}$

時間定数は直径の場合と同じなので、移動時間は依然として 42 分です。すべての距離と速度が定数 によってスケーリングされるだけです。 ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}}$${\displaystyle \cos \theta}$

時定数はのみに依存するので、これを展開すると次のように なります。${\displaystyle \omega}$${\displaystyle {\frac {g}{R}}}$

${\displaystyle {\frac {g}{R}}={\frac {GM/R^{2}}{R}}={\frac {GM}{R^{3}}}={\frac {G\rho \,V}{R^{3}}}={\frac {G\rho \,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3}}{R^{3}}}=G\rho \,{\frac {4}{3}}\pi }$

これは、重力定数と惑星の密度のみに依存します。惑星のサイズは重要ではなく、密度が同じであれば移動時間も同じです。 ${\displaystyle \rho}$

2012年の映画『トータル・リコール』では、「ザ・フォール」と呼ばれる重力列車が地球の中心を通過して西ヨーロッパとオーストラリアの間を行き来する。^{[5] [6]}

• 最速降下曲線
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• 小惑星帯の植民地化
• 宇宙エレベーター

• 重力列車の概念と数学的解法の説明 (パデュー大学のAlexandre Eremenkoウェブページ)。

• この動きのシミュレーション。地球の中心を通過しないトンネルも含まれています。同じ周期の衛星も表示されています。
• 重力エクスプレス
• 42分でどこへでも