カソン不変量

ケビン・ウォーカーは、有理ホモロジー3球面へのカッソン不変量の拡張を発見した。カッソン・ウォーカー不変量とは、向き付けられた有理ホモロジー3球面からQへの全射写像_λCWであり、以下の性質を満たす。

1. λ( S3 ⁾ = 0。

2.向き付けられた有理ホモロジー球M内の向き付けられた有理ホモロジー球M ′の任意の1 成分デーン手術表示 ( K、 μ )について:

${\displaystyle \lambda _{CW}(M^{\prime })=\lambda _{CW}(M)+{\frac {\langle m,\mu \rangle }{\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}\Delta _{W}^{\prime \prime }(M-K)(1)+\tau _{W}(m,\mu$ ;\nu )}

どこ：

• mは結び目Kの方向付けられた子午線であり、μは手術の特性曲線である。
• ν は自然写像H ₁ (∂ N ( K ), Z ) → H ₁ ( M − K , Z )の核を生成する。
• ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$は結び目の管状近傍N ( K ) 上の交差形式です。
• Δ は、 tの作用が生成器の作用に対応するように正規化されたアレクサンダー多項式です。${\displaystyle H_{1}(M-K)/{\text{Torsion}}}$M − Kの無限巡回被覆において、対称であり、1 で 1 に評価される。
• ${\displaystyle \tau _{W}(m,\mu$ ;\nu )=-\mathrm {sgn} \langle y,m\rangle s(\langle x,m\rangle ,\langle y,m\rangle )+\mathrm {sgn} \langle y,\mu \rangle s(\langle x,\mu \rangle ,\langle y,\mu \rangle )+{\frac {(\delta ^{2}-1)\langle m,\mu \rangle }{12\langle m,\nu \rangle \langle \mu ,\nu \rangle }}}

ここで、 x、yはH ₁ (∂ N ( K ), Z )の生成元であり、${\displaystyle \langle x,y\rangle =1}$、v = δ y は整数δであり、 s ( p , q ) はデデキント和です。

整数ホモロジー球面の場合、ウォーカーの正規化はカッソンの正規化の2倍になることに注意してください。${\displaystyle \lambda _{CW}(M)=2\lambda (M)}$。

クリスティン・レスコップは、向き付けられたコンパクト3次元多様体に対するカッソン・ウォーカー不変量の拡張λ _CWLを定義した。これは以下の性質によって一意的に特徴付けられる。

• Mの最初のベッチ数がゼロの場合、

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\tfrac {1}{2}}\left\vert H_{1}(M)\right\vert \lambda _{CW}(M)}$。

• Mの最初のベッチ数が 1 の場合、

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)={\frac {\Delta _{M}^{\prime \prime }(1)}{2}}-{\frac {\mathrm {torsion} (H_{1}(M,\mathbb {Z} ))}{12}}}$

ここで、Δは対称になるように正規化されたアレクサンダー多項式であり、1で正の値をとります。

• Mの最初のベッチ数が 2 の場合、

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M))\right\vert \mathrm {Link} _{M}(\gamma ,\gamma ^{\prime })}$

ここでγは2つの生成子の交点によって与えられる向き付けられた曲線である。${\displaystyle S_{1},S_{2}}$の${\displaystyle H_{2}(M;\mathbb {Z} )}$そして${\displaystyle \gamma ^{\prime }}$γ の管状近傍の自明化によって誘導される γ に平行な曲線は、${\displaystyle S_{1},S_{2}}$。

• Mの最初のベッチ数が 3 の場合、a、b、cの基底は${\displaystyle H_{1}(M;\mathbb {Z} )}$、 それから

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M;\mathbb {Z} ))\right\vert \left((a\cup b\cup c)([M])\right)^{2}}$。

• Mの最初のベッティ数が 3 より大きい場合、${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=0}$。

Casson–Walker–Lescop不変量は、以下の性質を持つ。

• Mの向きが変わると、${\displaystyle \lambda _{CWL}(M)}$最初のベティ数に依存する${\displaystyle b_{1}(M)=\operatorname {rank} H_{1}(M;\mathbb {Z} )}$Mの場合:${\displaystyle {\overline {M}}}$M の向きが反対の場合、

${\displaystyle \lambda _{CWL}({\overline {M}})=(-1)^{b_{1}(M)+1}\lambda _{CWL}(M).}$

つまり、Mの最初のベッティ数が奇数の場合、カッソン・ウォーカー・レスコップ不変量は変化しないが、偶数の場合は符号が反転する。

• 多様体の連結和の場合

${\displaystyle \lambda _{CWL}(M_{1}\#M_{2})=\left\vert H_{1}(M_{2})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{1})+\left\vert H_{1}(M_{1})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{2})}$

1990年、C. Taubesは、3-ホモロジー球面MのSU(2)カッソン不変量が、オイラー標数としてゲージ理論的に解釈できることを示した。${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$、 どこ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$M上の SU(2) 接続の空間であり、${\displaystyle {\mathcal {G}}}$はゲージ変換の群である。彼はチャーン・サイモンズ不変量を${\displaystyle S^{1}}$上の-値モース関数${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$そして、摂動に対する不変性を用いて不変量を定義し、それをSU(2)カッソン不変量と同一視した。（タウベス（1990））

H. BodenとC. Herald（1998）は、同様のアプローチを用いて、整数ホモロジー3-球面に対するSU(3)カッソン不変量を定義した。