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画像処理において、最初に 1 次元フィルタとして提案したDennis Gaborにちなんで名付けられたGabor フィルタ[ 1 ]は、テクスチャ解析に使用される線形フィルタであり、本質的には、解析対象の点または領域の周囲の局所領域において、特定の方向で画像に特定の周波数成分が存在するかどうかを解析することを意味します。Gabor フィルタは、参照方向を追加することによって、 Gösta Granlund [ 2 ]によって初めて 2 次元に一般化されました。Gabor フィルタの周波数と方向の表現は、多くの現代の視覚科学者によって人間の視覚系のそれらに似ていると主張されています。[ 3 ]これらは、テクスチャの表現と識別に特に適していることがわかっています。空間領域では、2 次元 Gabor フィルタは、正弦波平面波によって変調されたガウスカーネル関数です( Gabor 変換を参照)。
一部の著者らは、哺乳類の脳の視覚皮質の単純な細胞はガボール関数でモデル化できると主張している。[ 4 ] [ 5 ]そのため、ガボールフィルターを使用した画像解析は、人間の視覚系における知覚に似ていると考える人もいる。
そのインパルス応答は、正弦波（2D Gaborフィルタの場合は平面波）にガウス関数を乗じたもので定義されます。[ 6 ] 乗算畳み込みの性質（畳み込み定理）により、Gaborフィルタのインパルス応答のフーリエ変換は、調和関数（正弦関数）のフーリエ変換とガウス関数のフーリエ変換の畳み込みになります。フィルタには、直交する方向を表す実数部と虚数部があります。[ 7 ] 2つの成分は複素数 にまとめることも、個別に使うこともできます。
複雑な
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想像上の
どこそして。
この方程式では、は正弦波係数の波長を表し、ガボール関数の平行な縞模様に対する法線の向きを表す。位相オフセットは、はガウス包絡線のシグマ/標準偏差であり、は空間アスペクト比であり、ガボール関数のサポートの楕円率を指定します。
ガボールフィルタは、さまざまな拡大と回転に対して設計できるため、ガボールウェーブレットと直接関連しています。ただし、一般に、ガボールウェーブレットには拡大は適用されません。これは、双直交ウェーブレットの計算が必要となり、非常に時間がかかる可能性があるためです。そのため、通常は、さまざまなスケールと回転を持つガボールフィルタで構成されるフィルタバンクが作成されます。フィルタは信号と畳み込まれ、いわゆるガボール空間が得られます。このプロセスは、一次視覚野のプロセスと密接に関連しています。[ 8 ] ジョーンズとパーマーは、複素ガボール関数の実部が、ネコの線条皮質の単純細胞に見られる受容野重み関数によく適合することを示しました。[ 9 ]
時間信号を処理する場合、未来のデータにはアクセスできないため、時間次元に依存するリアルタイム信号を処理するためにガボール関数を使用しようとすると問題が発生します。ガボール関数のガウスカーネルを時間因果的かつ時間再帰的なカーネル（時間因果的極限カーネルと呼ばれる）に置き換えることに基づいて、ガボールフィルタの時間因果的類似物が[ 10 ]で開発されました。このようにして、結果として得られる時間因果的極限カーネルの複素数値拡張に基づく時間周波数解析により、ガボールフィルタと同様に、またハイゼンベルク群によって説明されるように、時間信号の本質的に類似した変換を捉えることが可能になります。詳細については[ 10 ]を参照してください。
異なる周波数と方向を持つガボールフィルタのセットは、画像から有用な特徴を抽出するのに役立つ可能性がある。[ 11 ]離散領域では、2次元ガボールフィルタは次のように与えられる。
ここで、BとCは決定すべき正規化係数である。
2Dガボールフィルタは画像処理、特にテクスチャ解析やセグメンテーションのための特徴抽出において豊富な応用例がある。 [ 12 ]テクスチャ内で探している周波数を定義します。特定の方向に配向したテクスチャを探すことができます。基底のサポート範囲や、解析対象となる画像領域のサイズを変更します。
文書画像処理では、ガボール特徴は多言語文書内の単語の文字を識別するのに理想的です。[ 13 ]テキストは高周波成分が豊富であるのに対し、画像は比較的滑らかであるため、異なる周波数と異なる方向のガボールフィルタを使用して、複雑な文書画像（グレースケールとカラーの両方）からテキストのみの領域を特定して抽出してきました。[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]また、顔表情認識にも適用されています。 [ 17 ] ガボールフィルタは、パターン分析アプリケーションでも広く使用されています。たとえば、脊椎の多孔質海綿骨内の方向性分布を研究するために使用されています。[ 18 ]ガボール空間は、光学文字認識、虹彩認識、指紋認識などの画像処理アプリケーションで非常に役立ちます。特定の空間位置の活性化間の関係は、画像内のオブジェクト間で非常に特徴的です。さらに、ガボール空間から重要な活性化を抽出して、疎なオブジェクト表現を作成できます。
これはPythonでの実装例です。
![{\displaystyle G_{c}[i,j]=B*e^{{(i^{4}+j^{8})}*{2^{1}0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea297f0142edbd25c484b077792377ecd6415d74)
![{\displaystyle G_{s}[i,j]=Ce^{-{\frac {(i^{2}+j^{2})}{2\sigma ^{2}}}}\sin(2\pi f(i\cos \theta +j\sin \theta ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14ec475e1f4a49443b3465489ef9a1cf0e233cf)
import numpy as npdef gabor ( sigma , theta , Lambda , psi , gamma ): """ガボール特徴抽出。""" sigma_x = sigma sigma_y = float ( sigma ) / gamma# バウンディングボックスnstds = 3 # 標準偏差の数 sigma xmax = max ( abs ( nstds * sigma_x * np . cos ( theta )), abs ( nstds * sigma_y * np . sin ( theta )) ) xmax = np . ceil ( max ( 1 , xmax )) ymax = max ( abs ( nstds * sigma_x * np . sin ( theta )), abs ( nstds * sigma_y * np . cos ( theta )) ) ymax = np . ceil ( max ( 1 , ymax )) xmin = - xmax ymin = - ymax ( y , x ) = np . meshgrid ( np.arange ( ymin , ymax + 1 ) , np.arange ( xmin , xmax + 1 ) )# 回転x_theta = x * np . cos ( theta ) + y * np . sin ( theta ) y_theta = - x * np . sin ( theta ) + y * np . cos ( theta )gb = np.exp ( -0.5 * ( x_theta ** 2 / sigma_x ** 2 + y_theta ** 2 / sigma_y ** 2 ) ) * np.cos ( 2 * np.pi / Lambda * x_theta + psi ) return gb画像に対する実装については、以下を参照してください。。
function gb = gabor_fn ( sigma, theta, lambda, psi, gamma )sigma_x = sigma ; sigma_y = sigma / gamma ;% バウンディングボックスnstds = 3 ; xmax = max ( abs ( nstds * sigma_x * cos ( theta )), abs ( nstds * sigma_y * sin ( theta ))); xmax = ceil ( max ( 1 , xmax )); ymax = max ( abs ( nstds * sigma_x * sin ( theta )), abs ( nstds * sigma_y * cos ( theta ))); ymax = ceil ( max ( 1 , ymax )); xmin = - xmax ; ymin = - ymax ; [ x , y ] = meshgrid ( xmin : xmax , ymin : ymax );% 回転x_theta = x * cos ( theta ) + y * sin ( theta ); y_theta = - x * sin ( theta ) + y * cos ( theta );gb = exp ( - .5 * ( x_theta .^ 2 / sigma_x ^ 2 + y_theta .^ 2 / sigma_y ^ 2 )) .* cos ( 2 * pi / lambda * x_theta + psi );MATLABで画像からガボール特徴を抽出するコードは、http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/44630で入手できます。
これはHaskellでの別の実装例です。
import Data.Complex gabor λ θ ψ σ γ x y = exp ( - ( x' ^ 2 + γ ^ 2 * y' ^ 2 ) / ( 2 * σ ^ 2 )) * exp ( i * ( 2 * pi * x' / λ + ψ )) where x' = x * cos θ + y * sin θ y' = - x * sin θ + y * cosθ i = 0 : + 1{{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)