フロベニウス特性マップ

数学、特に表現論と組合せ論において、フロベニウス特性写像は対称群の指標環と対称関数環の間の等長 同型写像である。これは対称群の表現論と代数的組合せ論の間に橋渡しをする。この写像により、対称関数の助けを借りて表現問題を研究することが可能になり、その逆も可能になる。この写像はドイツの数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスにちなんで名付けられた。

出典: ^[1]

を 上のすべての既約な指標 によって生成される-加群とします。特に、したがって です。指標の環は、次の乗算による直和として定義され、次数付き可換環を作成します。およびが与えられた場合、積は と定義され、は に埋め込まれ、 は誘導指標を表します。 ${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle S_{0}=\{1\}}$${\displaystyle R^{0}=\mathbb {Z} }$$${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R^{n}}$$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f\in R^{n}}$${\displaystyle g\in R^{m}}$$${\displaystyle f\cdot g=\operatorname {ind} _{S_{m}\times S_{n}}^{S_{m+n}}(f\times g)}$$${\displaystyle S_{m}\times S_{n}}$${\displaystyle S_{m+n}}$${\displaystyle \operatorname {ind} }$

に対して、におけるフロベニウス特性写像の値は、のフロベニウス像とも呼ばれ、多項式として定義されます。 ${\displaystyle f\in R^{n}}$${\displaystyle \operatorname {ch} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \operatorname {ch} (f)={\frac {1}{n!}}\sum _{w\in S_{n}}f(w)p_{\rho (w)}=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\mu )p_{\mu }.}$$

ここで、は によって決定される整数分割です。たとえば、 および のとき、は 分割 に対応します。逆に、の分割( と表記)は、における共役類を決定します。たとえば、 が与えられた場合、は共役類です。したがって、表記法の乱用により、によって決定される共役類上のの値を表すために を使用できます。 はクラス関数であるため、これは常に意味をなすことに注意してください。 ${\displaystyle \rho (w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle w=(12)(3)}$${\displaystyle \rho (w)=(2,1)}$${\displaystyle 3=2+1}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu \vdash n}$ ${\displaystyle K_{\mu}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \mu =(2,1)\vdash 3}$${\displaystyle K_{\mu }=\{(12)(3),(13)(2),(23)(1)\}}$${\displaystyle f(\mu )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle f}$

を の分割とすると、 はの変数によって決まる対称多項式のべき乗和の積になります。たとえば、 が与えられた場合、 の分割では、 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{\mu}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu =(3,2)}$${\displaystyle 5}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\mu }(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})&=p_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})p_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\\&=(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}+x_{5}^{3})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2})\end{aligned}}}$

最後に、は と定義されます。ここで、 は共役類 の濃度です。たとえば、 のとき、です。したがって、 の 2 番目の定義は直接正当化できます。${\displaystyle z_{\lambda }}$${\displaystyle {\frac {n!}{k_{\lambda }}}}$${\displaystyle k_{\lambda }}$${\displaystyle K_{\lambda }}$${\displaystyle \lambda =(2,1)\vdash 3}$${\displaystyle z_{\lambda }={\frac {3!}{3}}=2}$${\displaystyle \operatorname {ch} (f)}$$${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\sum _{w\in S_{n}}f(w)p_{\rho (w)}=\sum _{\mu \vdash n}{\frac {k_{\mu }}{n!}}f(\mu )p_{\mu }=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\mu )p_{\mu }}$$

出典: ^[2]

対称関数の環上の内積はホール内積です。 が成立することが求められます。ここで、は単項式対称関数であり、 は完全に同次な対称関数の積です。正確には、を整数の分割とすると、特に、この内積に関して、 は直交基底を形成し、シューア多項式は正規直交基底を形成します。ここで、はクロネッカーのデルタです。 ${\textstyle \langle h_{\mu },m_{\lambda }\rangle =\delta _{\mu \lambda }}$${\displaystyle m_{\lambda }}$${\displaystyle h_{\mu }}$${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\cdots )}$$${\displaystyle h_{\mu }=h_{\mu _{1}}h_{\mu _{2}}\cdots .}$$${\displaystyle \{p_{\lambda }\}}$${\textstyle \langle p_{\lambda },p_{\mu }\rangle =\delta _{\lambda \mu }z_{\lambda }}$ ${\displaystyle \{s_{\lambda }\}}$${\textstyle \langle s_{\lambda },s_{\mu }\rangle =\delta _{\lambda \mu }}$${\displaystyle \delta _{\lambda \mu }}$

とすると、それらの内積は次のように定義される^[3]${\displaystyle f,g\in R^{n}}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{w\in S_{n}}f(w)g(w)=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\mu )g(\mu )}$$もし、 ${\displaystyle f=\sum _{n}f_{n},g=\sum _{n}g_{n}}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{n}\langle f_{n},g_{n}\rangle _{n}}$$

フロベニウス特性写像が等長写像であることは、明示的な計算によって証明できる。これを証明するには、次のように仮定するだけで十分である。${\displaystyle f,g\in R^{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \operatorname {ch} (f),\operatorname {ch} (g)\rangle &=\left\langle \sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\mu )p_{\mu },\sum _{\lambda \vdash n}z_{\lambda }^{-1}g(\lambda )p_{\lambda }\right\rangle \\&=\sum _{\mu ,\lambda \vdash n}z_{\mu }^{-1}z_{\lambda }^{-1}f(\mu )g(\mu )\langle p_{\mu },p_{\lambda }\rangle \\&=\sum _{\mu ,\lambda \vdash n}z_{\mu }^{-1}z_{\lambda }^{-1}f(\mu )g(\mu )z_{\mu }\delta _{\mu \lambda }\\&=\sum _{\mu \vdash n}z_{\mu }^{-1}f(\mu )g(\mu )\\&=\langle f,g\rangle \end{aligned}}}$$

写像は、と環の間の同型である。この写像が環準同型であることは、フロベニウスの相互性によって示される。^[4]とに対して、${\displaystyle \operatorname {ch} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle f\in R^{n}}$${\displaystyle g\in R^{m}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} (f\cdot g)&=\langle \operatorname {ind} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{m+n}}(f\times g),\psi \rangle _{m+n}\\&=\langle f\times g,\operatorname {res} _{S_{n}\times S_{m}}^{S_{m+n}}\psi \rangle \\&={\frac {1}{n!m!}}\sum _{\pi \sigma \in S_{n}\times S_{m}}(f\times g)(\pi \sigma )p_{\rho (\pi \sigma )}\\&={\frac {1}{n!m!}}\sum _{\pi \in S_{n},\sigma \in S_{m}}f(\pi )g(\sigma )p_{\rho (\pi )}p_{\rho (\sigma )}\\&=\left[{\frac {1}{n!}}\sum _{\pi \in S_{n}}f(\pi )p_{\rho (\pi )}\right]\left[{\frac {1}{m!}}\sum _{\sigma \in S_{m}}g(\sigma )p_{\rho (\sigma )}\right]\\&=\operatorname {ch} (f)\operatorname {ch} (g)\end{aligned}}}$$

を で定義すると、フロベニウス特性マップはより短い形式で記述できます。 ${\displaystyle \psi :S_{n}\to \Lambda ^{n}}$${\displaystyle \psi (w)=p_{\rho (w)}}$

$${\displaystyle \operatorname {ch} (f)=\langle f,\psi \rangle _{n},\quad f\in R^{n}.}$$

特に、 が既約表現である場合、 は変数のシュアー多項式です。したがって、 は の正規直交基底を の正規直交基底に写像します。したがって、これは同型です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {ch} (f)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {ch} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \Lambda }$

を の交代表現とします。これは によって定義され、 は置換 の符号です。 には 3 つの共役類があり、(恒等式または 3 つの 1 サイクルの積)、(転置または 1 つの 2 サイクルと 1 つの 1 サイクルの積)、および(3 サイクル) で表すことができます。したがって、これら 3 つの共役類は、、、によって与えられるの 3 つの分割に対応します。これらの 3 つのクラスにおけるの値はそれぞれ です。したがって、は既約表現 (その特性 を計算することで示すことができる) であるため、上記の計算により、分割 に対応する 3 変数のシュアー多項式が得られます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle f(\sigma )v=\operatorname {sgn}(\sigma )v}$${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle (12)}$${\displaystyle (123)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle (1,1,1)}$${\displaystyle (2,1)}$${\displaystyle (3)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1,-1,1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} (f)&=z_{(1,1,1)}^{-1}f((1,1,1))p_{(1,1,1)}+z_{(2,1)}f((2,1))p_{(2,1)}+z_{(3)}^{-1}f((3))p_{(3)}\\&={\frac {1}{6}}(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{3}-{\frac {1}{2}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})(x_{1}+x_{2}+x_{3})+{\frac {1}{3}}(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3})\\&=x_{1}x_{2}x_{3}\end{aligned}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle 3=1+1+1}$