フロベニウス・シュール指標

数学、特に表現論の分野では、イサイ・シュールにちなんで名付けられたシュール指標、あるいはフロベニウス・シュール指標は、複素ベクトル空間上のコンパクト群の既約表現が持つ不変双線形形式を記述する。これは、実ベクトル空間上のコンパクト群の既約表現を分類するために用いることができる。

コンパクト群Gの有限次元連続表現が指標χを持つ場合、そのフロベニウス・シュール指標は次のように定義される。

${\displaystyle \int _{g\in G}\chi (g^{2})\,d\mu }$

Haar測度μはμ( G )=1となる。Gが有限の場合、それは次のように与えられる。

${\displaystyle {1 \over |G|}\sum _{g\in G}\chi (g^{2}).}$

χが複素既約表現である場合、そのフロベニウス・シュール指標は1、0、または-1となります。これは、Gの実既約表現が、以下で定義される特定の意味において、実数、複素数、または四元数であるかどうかを判定するための基準となります。以下の内容の多くは有限群の場合について説明していますが、一般的なコンパクト群の場合も同様です。

実ベクトル空間V上の有限群の既約な実表現には3 種類あります。これは、シューアの補題により、群作用と可換な自己準同型環が実結合除法代数であり、フロベニウスの定理により、実数、複素数、または四元数のいずれかとしか同型にならないことを意味します。

• 環が実数である場合、V ⊗ Cはシューア指示子 1 を持つ既約複素表現であり、実表現とも呼ばれます。
• 環が複素数である場合、V は2 つの異なる共役複素構造を持ち、シューア指標 0 を持つ 2 つの既約複素表現を与えます。これらは複素表現と呼ばれることもあります。
• 環が四元数である場合、複素数と同型な四元数の部分環を選択することで、V はシューア指標− 1を持つGの既約複素表現となり、四元数表現と呼ばれます。

さらに、複素ベクトル空間上のすべての既約表現は、上記の3つの方法のいずれかによって、実ベクトル空間上の一意な既約表現から構築できます。したがって、複素空間上の既約表現とそのシューア指示子を知ることで、実空間上の既約表現を読み取ることができます。

実数表現は複素化することで同じ次元の複素数表現を得ることができ、複素数表現は実数部と虚数部を別々に扱うことで2倍の次元の実数表現に変換できます。また、すべての有限次元複素数表現はユニタリ表現に変換できるため、ユニタリ表現の場合、ヒルベルト空間ノルムによって表現からその双対表現への反線形全単射写像が得られることから、双対表現も（複素）共役表現となります。

自己双対複素既約表現は、同じ次元の実既約表現、または2倍の次元の実既約表現（四元数表現と呼ばれる）（ただし両方ではない）に対応し、非自己双対複素既約表現は、2倍の次元の実既約表現に対応します。後者の場合、複素既約表現とその双対の両方が同じ実既約表現を生み出すことに注意してください。四元数表現の例としては、四元数群Q ₈の 4 次元実既約表現が挙げられます。

V が群Gの表現の基礎となるベクトル空間である場合、テンソル積表現${\displaystyle V\otimes V}$は、対称正方形と呼ばれる2 つの部分表現の直接和として分解できます。${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}(V)}$（また、しばしば次のように表記される）${\displaystyle V\otimes _{S}V}$または${\displaystyle V\odot V}$）と交互の正方形、${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}(V)}$（また、しばしば次のように表記される）${\displaystyle \wedge ^{2}V}$、${\displaystyle V\otimes _{A}V}$、 または${\displaystyle V\wedge V}$) ^{[ 1 ]} これらの正方形表現に関して、この指標には次の別の定義があります。

${\displaystyle \iota \chi _{V}={\begin{cases}1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ is a subrepresentation of }}\operatorname {Sym} ^{2}(V)\\-1&{\text{if }}W_{\text{triv}}{\text{ is a subrepresentation of }}\operatorname {Alt} ^{2}(V)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle W_{\text{triv}}}$これは自明な表現である。

これを確認するには、次の用語に注目してください。${\displaystyle \chi (g^{2})}$これらの表現の特徴には自然に生じるものがあります。つまり、

${\displaystyle \chi _{V}(g^{2})=\chi _{V}(g)^{2}-2\chi _{\wedge ^{2}V}(g)}$

そして

${\displaystyle \chi _{V}(g^{2})=2\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}(g)-\chi _{V}(g)^{2}}$[ ^{2 ]​}

これらの式のいずれかを代入すると、フロベニウス・シュール指標はクラス関数上の自然なG不変内積の構造をとる。

${\displaystyle \iota \chi _{V}={\begin{cases}1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}\rangle =1\\-1&\langle \chi _{\text{triv}},\chi _{\operatorname {Alt} ^{2}(V)}\rangle =1\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

内積は直接加算される項の重複度を数えるものであり、定義の等価性はそこから直ちに導かれる。

V を群Gの既約複素表現とする（または同等に、既約複素表現とする）。${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$-モジュール、${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$（群環を表す）。

1. V上に非零のG不変双線形形式が存在するのは、${\displaystyle \iota \chi \neq 0}$
2. V上に非零のG不変対称双線形形式が存在するのは、${\displaystyle \iota \chi =1}$
3. V上に非零のG不変な歪対称双線形形式が存在するのは、${\displaystyle \iota \chi =-1}$[ ^{3 ]​}

上記は、対称代数と外積代数の普遍的な性質の結果であり、これらは対称正方形と交代正方形の基礎となるベクトル空間である。

さらに、

1. ${\displaystyle \iota \chi =0}$かつその場合に限り${\displaystyle \chi }$実数値ではない（これらは複素数表現である）、
2. ${\displaystyle \iota \chi =1}$かつその場合に限り${\displaystyle \chi }$実現可能${\displaystyle \mathbb {R} }$（これらは実際の表現です）、そして
3. ${\displaystyle \iota \chi =-1}$かつその場合に限り${\displaystyle \chi }$現実だが実現できない${\displaystyle \mathbb {R} }$（これらは四元数表現です。）^{[ 4 ]}

任意の複素表現ρの場合と同様に、

${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho (g)}$

は自己絡み合い体であり、任意の整数nに対して、

${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\rho (g^{n})}$

は自己絡み合い体でもある。シュールの補題によれば、これは既約表現の単位元の倍数となる。この自己絡み合い体のトレースは、n^番目のフロベニウス・シュール指標と呼ばれる。

フロベニウス・シュール指標の本来のケースは、n = 2 の場合である。ゼロ番目の指標は既約表現の次元であり、最初の指標は自明な表現の場合は 1、その他の既約表現の場合は 0 となる。

これは、リー代数の既約表現のカシミール不変量に似ています。実際、G の任意の表現はC [ G ]の加群と考えることができ、その逆も成り立つので、C [ G ]の中心を調べることができます。これは、リー代数の普遍包絡代数の中心を調べることに類似しています。簡単に確認できます。

${\displaystyle \sum _{g\in G}g^{n}}$

C [ G ]の中心に属し、これは単にG上のクラス関数の部分空間です。