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代数学において、可換環R上の加群Mの自由表示とは、 R加群の完全列のことである。

$\displaystyle \bigoplus _{i\in I}R\ {\overset {f}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}R\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0.}$

標準基底のgによる像がMを生成すること に注意してください。特に、Jが有限集合である場合、Mは有限生成加群です。IとJが有限集合である場合、その表示は有限表示と呼ばれます。加群が有限表示可能であるとは、有限表示を持つ加群のことです。

fは自由モジュール間のモジュール準同型であるため、 RとMをその余核とする（無限）行列として視覚化できます。

自由表現は常に存在する。すなわち、あらゆるモジュールは自由モジュールの商である。${\displaystyle F\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0}$しかし、その場合、gの核は再び自由加群の商となる。${\displaystyle F'\ {\overset {f}{\to }}\ \ker g\to 0}$fとgの組み合わせはMの自由表現である。このようにしてカーネルを「分解」し続けることは明らかに可能であり、その結果は自由分解と呼ばれる。したがって、自由表現は自由分解の初期部分である。

プレゼンテーションは計算に役立ちます。例えば、テンソル演算は右完全であるため、上記のプレゼンテーションをモジュールNでテンソル演算すると、次のようになります。

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}N\ {\overset {f\otimes 1}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}N\to M\otimes _{R}N\to 0.}$

これは、${\displaystyle M\otimes _{R}N}$は、${\displaystyle f\otimes 1}$N が環（したがってR代数）でもある場合、これはN加群の表示である。${\displaystyle M\otimes _{R}N}$つまり、この表示は基底拡張の下で拡​​張される。

左完全ファンクターの場合、例えば

証明：有限表示にFを適用する${\displaystyle R^{\oplus n}\to R^{\oplus m}\to M\to 0}$結果として

${\displaystyle 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

これは簡単に拡張でき、

${\displaystyle 0\to 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

同じことが${\displaystyle G}$. 次に、第5の補題を適用します。${\displaystyle \square }$

• コヒーレントモジュール
• 有限関連モジュール
• 理想的なフィット感
• 準連接層

• アイゼンバッド、デイビッド、『代数幾何学への展望を伴う可換代数』、大学院数学テキスト、150、シュプリンガー・フェルラーク、1995年、ISBN 0-387-94268-8。