近似の順序

科学、工学、その他の定量的な分野において、近似の順序とは、近似の精度を表す正式または非公式の表現を指します。

正式な表現では、語順の前にある序数は、近似で使用される級数展開の最高次数を指します。 0 次近似、1 次近似、2 次近似などの表現は、定型句として使用されます。 0 次近似という表現もよく使用されます。基数は、0 次近似、1 次近似など の表現で使用されることがあります。

語順を省略すると、意味が正式なものではなくなる。 「 first approximation」や「to a first approximation」などの語句は、量のおおよその近似値を指すことがある。^{[1] [2]} 「to a zeroth approximation」という 語句は、推測を示す。^[3] 「order of approximation」という 表現は、有効数字の数、精度の昇順、または大きさの順序を意味するために非公式に使用されることがある。しかし、これらの正式な表現は導関数の順序を直接指していないため、混乱を招く可能性がある。

級数展開の選択は、現象を調査するために使用される科学的方法によって異なります。近似式の次数は、指定された区間内の関数の近似値が徐々に精密化されることが期待されます。近似の次数の選択は、研究目的によって異なります。既知の解析式を簡略化して新しいアプリケーションを考案したり、逆に、データ ポイントに曲線を当てはめようとしたりする場合があります。近似の次数が高いほど、必ずしも低い次数よりも有用であるとは限りません。たとえば、量が区間全体で一定である場合、それを 2 次テイラー級数で近似しても精度は向上しません。

滑らかな関数の場合、n次の近似はn次多項式で、テイラー級数をこの次数まで切り捨てることで得られます。近似次数の正式な使用法は、展開で使用される級数のいくつかの項を省略することを意味します。 これは精度に影響します。 誤差は通常、間隔内で変化します。 したがって、上記の意味で使用されている項 (ゼロ次、第1 、第 2など)は、パーセント誤差や有効数字に関する情報を直接与えるものではありません。 たとえば、指数関数のテイラー級数展開では、 ゼロ次項は、第 1 次項は、第 2 次項は、というように続きます。各高次項が​​前の項よりも小さい場合。 の場合、第 1 次近似 で十分な場合がよくあります。 ただし、第 1 次項では、はゼロ次項より小さくならず、第 2 次項 でも、はゼロ次項より大きくなります。 $${\displaystyle e^{x}=\underbrace {1} _{0^{\text{th}}}+\underbrace {x} _{1^{\text{st}}}+\underbrace {\frac {x^{2}}{2!}} _{2^{\text{nd}}}+\underbrace {\frac {x^{3}}{3!}} _{3^{\text{rd}}}+\underbrace {\frac {x^{4}}{4!}} _{4^{\text{th}}}+\ldots \;,}$$${\displaystyle 1;}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x^{2}/2,}$${\displaystyle |x|<1,}$${\displaystyle |x|<<1,\,}$$${\displaystyle e^{x}\approx 1+x,}$$${\displaystyle x=1,}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle 1.}$${\displaystyle x=2,}$${\displaystyle 2^{3}/3!=4/3,\,}$

ゼロ次近似とは、科学者が最初の大まかな答えを出すために使用する用語です。多くの単純化仮定が行われ、数値が必要な場合、桁違いの答え (または有効数字がゼロ) が与えられることがよくあります。たとえば、「町の住民は数千人」と答えても、実際には 3,914 人しかいません。これは桁違い近似と呼ばれることもあります。「ゼロ次」のゼロは、与えられた唯一の数値「少数」自体も、定義がゆるいという事実を表しています。

関数のゼロ次近似（つまり、複数のデータポイントに適合する式を数学的に決定すること）は定数、つまり傾きのない平坦な線、つまり0次の多項式になります。たとえば、

${\displaystyle x=[0,1,2],}$

${\displaystyle y=[3,3,5],}$

${\displaystyle y\sim f(x)=3.67}$

データ ポイントの精度が報告されていれば、x値とy値を単純に平均することで得られたデータへの近似値になる可能性があります。ただし、データ ポイントは測定結果を表すものであり、ユークリッド幾何学のポイント とは異なります。したがって、入力データに有効数字 1 桁しかないのに、出力に有効数字 3 桁の平均値を示すことは、誤った精度の例として認識される可能性があります。データ ポイントの暗黙の精度が ±0.5 であるため、標準偏差を考慮すると、ゼロ次の近似では、 xが-0.5 から 2.5 の範囲で、 yの結果がせいぜい~3.7 ± 2.0 になる可能性があります。

データポイントが次のように報告されている場合

${\displaystyle x=[0.00,1.00,2.00],}$

${\displaystyle y=[3.00,3.00,5.00],}$

ゼロ次近似の結果は

${\displaystyle y\sim f(x)=3.67.}$

結果の正確さは、その平均の乗法関数を導出する試みを正当化する。例えば、

${\displaystyle y\sim x+2.67.}$

ただし、乗法関数は区間全体に対して定義されるため、注意が必要です。 3 つのデータ ポイントしか使用できない場合、区間の残りの部分（区間の大部分を占める可能性がある）に関する情報はありません。 つまり、y には、区間の両端と中央で 0 になる別の要素がある可能性があります。 この特性を持つ関数は多数知られています。たとえば、y = sin π xです。テイラー級数は便利で、解析解を予測するのに役立ちますが、近似値だけでは決定的な証拠にはなりません。

一次近似は、科学者がわずかに良い答えを出すために使う用語です。^[3]いくつかの単純化の仮定が立てられ、数値が必要な場合、1つの有効数字のみで答えが与えられることがよくあります（「町は4 × 10 ³、つまり4,000 人の住民」です。 1 次近似の場合、少なくとも 1 つの数値が正確です。 上記の 0 次例では、「少数」という量が与えられましたが、1 次例では、数値「4」が与えられます。

関数の一次近似（つまり、複数のデータ ポイントに適合する数式を数学的に決定すること）は、線形近似、つまり傾きのある直線、つまり 1 次多項式になります。例:

${\displaystyle x=[0.00,1.00,2.00],}$

${\displaystyle y=[3.00,3.00,5.00],}$

${\displaystyle y\sim f(x)=x+2.67}$

データへの近似値です。この例では、1 次近似と同じ 0 次近似値がありますが、そこに到達する方法が異なります。つまり、関係性について闇雲に推測した結果が、たまたま「知識に基づいた推測」と同じくらい良い結果になったということです。

2次近似は、科学者がまともな質の答えに対して使う用語です。単純化のための仮定はほとんど行われず、数値が必要な場合は、2桁以上の有効数字（「町は一般的には、不正確な数量に対して正確な数値が与えられる（ 3.9 × 10 ³、つまり3,900 人の居住者）という数字が与えられます。上記の例のように、「2 次」という用語は、不正確な数量に対して与えられる正確な数値の数を指します。この場合、「3」と「9」は、上記の例にある 1 次からの「4」や 0 次からの「少数」ではなく、2 つの連続した精度レベルとして与えられます。

関数の 2 次近似 (つまり、複数のデータ ポイントに適合する式を数学的に決定すること) は、2次多項式になります。幾何学的には、放物線、つまり2 次多項式になります。例:

${\displaystyle x=[0.00,1.00,2.00],}$

${\displaystyle y=[3.00,3.00,5.00],}$

${\displaystyle y\sim f(x)=x^{2}-x+3}$

データに近似します。この場合、データ ポイントが 3 つしかないため、放物線は提供されたデータに基づいて正確に近似します。ただし、ほとんどの区間のデータ ポイントは利用できないため、注意が必要です (「ゼロ次」を参照)。

高次の近似値が存在し、現実をより良く理解し、記述するために重要ですが、通常は数値で参照されることはありません。

上記を続けると、4 つのデータ ポイントを完全に適合させるには 3 次近似が必要になります。多項式補間を参照してください。

これらの用語は、科学者やエンジニアが、重要ではないとして無視できる現象を説明するために口語的にも使用されます (例: 「もちろん地球の自転は実験に影響しますが、それは非常に高次の効果であるため、測定することはできません。」または「これらの速度では、相対性は 4 次効果であり、毎年の較正時にのみ考慮します。」)。この用法では、近似の順序は正確ではありませんが、その重要性のなさを強調するために使用されます。使用される数値が大きいほど、効果の重要性は低くなります。この文脈での用語は、全体的な主題と比較すると非常に小さいと推測される効果を説明するために必要な高いレベルの精度を表します。順序が高いほど、効果を測定するために必要な精度が高くなり、したがって、全体的な測定と比較した効果の小ささが増します。

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