フォイエルバッハ点

三角形の幾何学では、三角形の内接円と九点円は三角形のフォイエルバッハ点で互いに内部接している。フォイエルバッハ点は三角形の中心であり、その定義は三角形の配置や大きさに依存しない。クラーク・キンバリングの『 三角形の中心百科事典』ではX(11)として記載されており、カール・ヴィルヘルム・フォイエルバッハにちなんで名付けられている。^{[1] [2]}

フォイエルバッハが1822年に発表したフォイエルバッハの定理^[3]は、より一般的には、9点円は三角形の3つの外接円と内接円に接することを述べています。^[4]この定理の非常に短い証明は、5番目の円に接する4つの円の従接線に関するケーシーの定理に基づいており、ジョン・ケーシーは1866年に発表しました。^{[5]フォイエルバッハの定理は}、自動定理証明のテストケースとしても使用されています。^[6]外接円と接する3点は、与えられた三角形の フォイエルバッハ三角形を形成します。

三角形ABCの内接円は、三角形の 3 辺すべてに接する円です。その中心、つまり三角形の内心は、三角形の 3 つの内角の二等分線が交差する点にあります。

9点円は、三角形から定義される別の円です。9 点円は三角形の 9 つの重要な点を通るため、このように呼ばれます。その中で最も簡単に作図できるのは、三角形の辺の中点です。9 点円は、これらの 3 つの中点を通るため、中心三角形の外接円になります。

これら 2 つの円は 1 点で交わり、互いに 接します。その接点が三角形のフォイエルバッハ点です。

三角形の内接円には、さらに 3 つの円、外接円が関連しています。これらは、三角形の 3 辺を通る 3 本の線にそれぞれ接する円です。各外接円は、三角形の反対側からこれらの線のうちの 1 本に接し、他の 2 本の線については三角形と同じ側にあります。内接円と同様に、外接円はすべて 9 点円に接しています。外接円と 9 点円の接点は三角形、つまりフォイエルバッハの三角形を形成します。

フォイエルバッハ点は、それを定義する2つの接円の中心を通る線上にあります。これらの中心は三角形の内心と9点中心です。 ^{[1] [2]}

、、をフォイエルバッハ点から中立三角形の頂点（元の三角形の辺BC=a、CA=b、AB=cの中点）までの3つの距離とする。すると、^{[7] [8]}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle x+y+z=2\max(x,y,z),}$

あるいは、3つの距離のうち最大のものは他の2つの距離の合計に等しい。具体的には、Oが基準三角形の外心、Iが内心である場合 、次の式が成り立つ。^{[8] : 命題3}${\displaystyle x={\frac {R}{2OI}}|bc|,\,y={\frac {R}{2OI}}|ca|,z={\frac {R}{2OI}}| ab|,}$

後者の性質は、9点円との外接円の接点にも当てはまります。この接点から元の三角形の辺の中点の1つまでの最大距離は、他の2つの辺の中点までの距離の合計に等しくなります。^[8]

三角形 ABC の内接円が辺BC、CA、ABにそれぞれX、Y、Zで接し、これらの辺の中点がそれぞれP、Q、Rである場合、フォイエルバッハ点Fにおいて三角形FPX、FQY、 FRZ は三角形AOI、BOI、COIとそれぞれ相似である。^{[8] : 命題 4}

フォイエルバッハ点の三線座標は^[2]

${\displaystyle 1-\cos(BC):1-\cos(CA):1-\cos(AB)。}$

その重心座標は^[8]

${\displaystyle (sa)(bc)^{2}:(sb)(ca)^{2}:(sc)(ab)^{2},}$

ここで、s は三角形の半周長です。${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c){}}$

元の三角形の頂点からフォイエルバッハ三角形の対応する頂点を通る3本の線は、別の三角形の中心で交わる。これは三角形の中心百科事典ではX(12)として記載されている。その三線座標は次の通りである: ^[2]

${\displaystyle 1+\cos(BC):1+\cos(CA):1+\cos(AB)。}$

• テボー、ヴィクトル（1949）「フォイエルバッハ点について」アメリカ数学月刊誌、56（8）：546-547、doi：10.2307/2305531、JSTOR  2305531、MR  0033039。
• エメリャノフ、レフ; エメリャノワ、タチアナ (2001)、「フォイエルバッハ点に関する注記」、フォーラム幾何学、1 : 121–124 (電子版)、MR  1891524。
• スチャヴァ、ボグダン。ユ、ポール (2006)、「フォイエルバッハ点とオイラー線」、Forum Geometricorum、6 : 191–197、MR  2282236。
• Vonk, Jan (2009)、「フォイエルバッハ点とオイラー直線の反射」、Forum Geometricorum、9 : 47–55、MR  2534378。
• Nguyen, Minh Ha; Nguyen, Pham Dat (2012)、「フォイエルバッハ点に関連する 2 つの定理の総合的証明」、Forum Geometricorum、12 : 39–46、MR  2955643。