指数積分器

指数積分法は、常微分方程式、特に初期値問題を解くための数値解法の一種です。数値解析におけるこの広範な手法は、初期値問題の線形部分の厳密な積分に基づいています。線形部分が厳密に積分されるため、微分方程式の硬直性を軽減することができます。指数積分法は、数値常微分方程式に対して陽解法または陰解法として構築することも、数値偏微分方程式の時間積分法として使用することもできます。

少なくとも1960年代に遡るこれらの方法は、Certaine ^{[ 1 ]}と Pope ^{[ 2 ]}によって認識されました。最近では、指数積分法は活発な研究分野となっています。Hochbruck と Ostermann (2010) [ 3 ] を参照してください。^{元々は硬い}微分 方程式を解くために開発されたこれらの方法は、熱方程式などの双曲型および放物型の問題^{[ 4 ]}を含む偏微分方程式を解くために使用されています。

我々は、次の形式の初期値問題を考える。

どこ${\displaystyle L}$は線形項で構成され、${\displaystyle N}$非線形項から構成される。これらの問題は、より典型的な初期値問題から生じる可能性がある。 $${\displaystyle u'(t)=f(u(t)),\qquad u(t_{0})=u_{0},}$$ 固定状態または局所状態を中心として局所的に線形化した後$\displaystyle u^{*}}$:$${\displaystyle L={\frac {\partial f}{\partial u}}(u^{*});\qquad N=f(u)-Lu.}$$ ここ、${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}}$は、​${\displaystyle f}$に関して${\displaystyle u}$( fのヤコビアン)。

この問題の時刻0から後の時刻までの正確な積分${\displaystyle t}$行列指数関数を使用して、正確な解の積分方程式を定義することができます。 ^{[ 3 ]}

これはピカール・リンデレーフの定理で使用される厳密な積分に似ています。${\displaystyle N\equiv 0}$この定式化は、線形微分方程式の厳密解である。

数値解法では、式(2)の離散化が必要です。数値解法は、ルンゲ・クッタ法^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} 、線形多段階法、またはその他のさまざまな方法に基づくことができ ます。

指数ローゼンブロック法は、通常、時間依存（放物型）偏微分方程式の空間離散化から生じる、大規模な硬質常微分方程式系の解法において非常に効率的であることが示されています。これらの積分器は、数値解に沿った式（1）の連続線形化に基づいて構築されます。$u_n$

どこ${\displaystyle L_{n}={\frac {\partial f}{\partial u}}(u_{n})}$、${\displaystyle N_{n}(u)=f(u)-L_{n}u}$ この手順は、各段階で次のような利点があります。$\displaystyle {\frac {\partial N_{n}}{\partial u}}(u_{n})=0.}$ これにより、次数条件の導出が大幅に簡略化され、非線形性を積分する際の安定性が向上します。${\displaystyle N(u(t))}$再び定数変化の公式（2）を適用すると、時刻における正確な解が得られる。$t_n+1$として

ここでの考え方は、(4)の積分を節点を持つ何らかの求積法で近似することである。${\displaystyle c_{i}}$そして重さ${\displaystyle b_{i}(h_{n}L_{n})}$（${\displaystyle 1\leq i\leq s}$これにより、次のクラスの${\displaystyle s}$-段階陽的指数関数ローゼンブロック法、Hochbruck and Ostermann (2006)、Hochbruck、Ostermann and Schweitzer (2009) を参照。 $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{ni}&=e^{c_{i}h_{n}L_{n}}u_{n}+h_{n}\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}(h_{n}L_{n})N_{n}(U_{nj}),\\u_{n+1}&=e^{h_{n}L_{n}}u_{n}+h_{n}\sum _{i=1}^{s}b_{i}(h_{n}L_{n})N_{n}(U_{ni})\end{整列}}}$$ と$\displaystyle u_{n}\approx u(t_{n})}$、${\displaystyle U_{ni}\approx u(t_{n}+c_{i}h_{n})}$、${\displaystyle h_{n}=t_{n+1}-t_{n}}$係数​${\displaystyle a_{ij}(z),b_{i}(z)}$これらは通常、関数全体の線形結合として選択される。${\displaystyle \varphi _{k}(c_{i}z),\varphi _{k}(z)}$それぞれ、 $${\displaystyle \varphi _{0}(z)=e^{z},\quad \varphi _{k}(z)=\int _{0}^{1}e^{(1-\theta )z}{\frac {\theta ^{k-1}}{(k-1)!}}d\theta ,\quad k\geq 1.}$$ これらの関数は再帰関係を満たす $${\displaystyle \varphi _{k+1}(z)={\frac {\varphi _{k}(z)-\varphi _{k}(0)}{z}},\ k\geq 0.}$$ 違いを導入することで${\displaystyle D_{ni}=N_{n}(U_{ni})-N_{n}(u_{n})}$それらは、実装のために、より効率的な方法で再定式化することができる（^{[ 3 ]}も参照）。 $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{ni}&=u_{n}+c_{i}h_{n}\varphi _{1}(c_{i}h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\sum _{j=2}^{i-1}a_{ij}(h_{n}L_{n})D_{nj},\\u_{n+1}&=u_{n}+h_{n}\varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\sum _{i=2}^{s}b_{i}(h_{n}L_{n})D_{ni}.\end{整列}}}$$

適応ステップサイズでこのスキームを実装するために、局所誤差推定の目的で、以下の組み込み手法を検討することができる。 $${\displaystyle {\bar {u}}_{n+1}=u_{n}+h_{n}\varphi _{1}(h_{n}L_{n})f(u_{n})+h_{n}\sum _{i=2}^{s}{\bar {b}}_{i}(h_{n}L_{n})D_{ni},}$$ 同じステージを使用する${\displaystyle U_{ni}}$しかし、重り付きで${\displaystyle {\bar {b}}_{i}}$。

便宜上、明示的な指数関数的ローゼンブロック法の係数と、それらに組み込まれた方法の係数は、いわゆる縮小ブッチャー表を用いて次のように表すことができます。

CoxとMatthews ^{[ 5 ]}は、 Mapleを使って導出した4次法指数時間差分法（ETD法）について述べている。

我々は彼らの記法を用い、未知の関数は${\displaystyle u}$既知の解決策がある$u_n$その時$t_n$さらに、時間依存の可能性のある右辺を明示的に利用します。${\displaystyle {\mathcal {N}}={\mathcal {N}}(t,u)}$。

まず、3段階の値が構築されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=e^{Lh/2}u_{n}+L^{-1}\left(e^{Lh/2}-I\right){\mathcal {N}}(t_{n},u_{n})\\b_{n}&=e^{Lh/2}u_{n}+L^{-1}\left(e^{Lh/2}-I\right){\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},a_{n})\\c_{n}&=e^{Lh/2}a_{n}+L^{-1}\left(e^{Lh/2}-I\right)\left(2{\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},b_{n})-{\mathcal {N}}(t_{n},u_{n})\right)\end{aligned}}}$$ 最終更新は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{n+1}=e^{Lh}u_{n}+h^{-2}L^{-3}{\Bigl \{}{\hphantom {{}+2}}&\left[-4-Lh+e^{Lh}\left(4-3Lh+(Lh)^{2}\right)\right]{\mathcal {N}}(t_{n},u_{n})\\{}+2&\left[2+Lh+e^{Lh}\left(-2+Lh\right)\right]\left[{\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},a_{n})+{\mathcal {N}}(t_{n}{+}{\tfrac {h}{2}},b_{n})\right]\\{}+{\hphantom {2}}&\left[-4-3Lh-(Lh)^{2}+e^{Lh}\left(4-Lh\right)\right]{\mathcal {N}}(t_{n}{+}h,c_{n}){\Bigr \}}.\end{aligned}}}$$

単純に実装すると、上記のアルゴリズムは浮動小数点丸め誤差による数値不安定性に悩まされる。 ^{[ 10 ]} その理由を理解するために、最初の関数を考えてみよう。 $${\displaystyle \varphi _{1}(z)={\frac {e^{z}-1}{z}},}$$ これは、1次オイラー法およびETDRK4の3つのステージすべてに存在します。${\displaystyle z}$この関数は数値的な相殺エラーに悩まされています。しかし、これらの数値的な問題は、以下の式を評価することで回避できます。${\displaystyle \varphi _{1}}$関数は、経路積分アプローチ^{[ 10 ]}またはパデ近似^{[ 11 ]}によって計算される。

指数積分器は、例えば分子動力学^{[ 12 ]}、VLSI回路シミュレーション^{[ 13 ] [ 14 ]、コンピュータグラフィックス [ 15 ]}など、科学^{計算やビジュアル}コンピューティングにおける硬いシナリオのシミュレーションに使用されます。また、ハイブリッドモンテカルロ法^{[ 16 ]}の文脈でも適用されます。これらのアプリケーションでは、指数積分器は大きな時間ステップ機能と高い精度という利点を示します。このような複雑なシナリオで行列関数の評価を高速化するために、指数積分器はクリロフ部分空間射影法と組み合わされることがよくあります。

• 一般線形法

• GPGPU上のインテグレータ
• メッシュフリー指数積分器のコード