五角数定理

数学 において、オイラーの五角数定理はオイラー関数の積と級数表現を関連付けるものである。

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-x^{n}\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right).}$

言い換えると、

${\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-xx^{2​​}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .}$

右辺の指数 1、2、5、7、12、... は、 k = 1、−1、2、−2、3、...に対して、式g _k = k (3 k − 1)/2で与えられ、(一般化)五角数( OEISのシーケンスA001318 ) と呼ばれます。 (定数項 1 は に対応します。) これはの収束べき級数の恒等式として成り立ち、形式的べき級数の恒等式としても成り立ちます。 ${\displaystyle k=0}$${\displaystyle |x|<1}$

この式の顕著な特徴は、積の展開におけるキャンセルの量です。

この恒等式は、 nの分割数 を計算するための反復を意味します。 ${\displaystyle p(n)}$

${\displaystyle p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots }$

またはより正式には

${\displaystyle p(n)=\sum _{k\neq 0}(-1)^{k-1}p(n-g_{k})}$

ここで、和はすべての非ゼロの整数k (正と負) にわたっており、はk^番目の一般化五角数です。すべての に対して、右側の一見無限の級数には有限個の非ゼロ項のみが含まれるため、 p ( n ) の効率的な計算が可能になります。${\displaystyle g_{k}}$${\displaystyle p(n)=0}$${\displaystyle n<0}$

この定理は、分割という観点から組み合わせ的に解釈することができます。特に、左辺は、nを偶数個の異なる部分に分割する数から、nを奇数個の異なる部分に分割する数を引いたものの生成関数です。 nを偶数個の異なる部分に分割するたびに、 x ⁿの係数に +1 が加算され、奇数個の異なる部分に分割するたびに、 -1 が加算されます。(制限のない分割関数に関する記事では、このタイプの生成関数について説明しています。)

たとえば、5 を偶数個の異なる部分に分割する方法は 2 つ (4 + 1 と 3 + 2) ありますが、奇数個の異なる部分に分割する方法は 1 つしかありません (1 つの^部分に分割した 5) ので、x 5 の係数は +1 です。ただし、12を^偶数個の異なる部分に分割する方法は 7 つありますが、12 を奇数個の異なる部分に分割する方法は 8 つあり、7 − 8 = −1 であるため、x 12 の係数は −1 です。

この解釈は、一致する項のペアをキャンセルすることによって恒等式の証明につながります（反転法）。^[1] nを個別の部分に分割するフェラー図を考えてみましょう。たとえば、下の図はn = 20と分割20 = 7 + 6 + 4 + 3を示しています。

m を図の最小の行にある要素の数とします (上記の例ではm = 3)。 s を図の右端の 45 度線にある要素の数とします ( s = 2 赤い点、7 − 1 = 6 だが、 6 − 1 > 4 であるため)。m  >  sの場合は、右端の 45 度線を取り、それを移動して、以下の対応する図のように新しい行を形成します。

m ≤ s の場合 (新しく形成された図でm = 2、s = 5の場合)、下の行を移動して新しい 45 度の線を形成し (最初のm行のそれぞれに 1 つの要素を追加)、プロセスを逆にして最初の図に戻ることができます。

少し考えてみると、このプロセスは常に行数の偶奇性を変え、このプロセスを 2 回適用すると元の図に戻ることがわかります。これにより、シリーズのx ⁿ項に 1 と -1 を寄与する Ferrers 図をペアにすることができ、 x ⁿの純係数は 0 になります。これは、 n 個のドットを持つすべての Ferrers 図でこのプロセスを実行できない場合を除いて、すべての項に当てはまります。そのようなケースは 2 つあります。

1) m = sであり、右端の対角線と一番下の行が交わる。例えば、

操作を実行しようとすると、次のようになります。

これは行数の偶奇性を変更できず、操作を再度実行しても元の図に戻らないという意味で可逆ではありません。元の図の最後の行にm個の要素がある場合、

${\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-1)={\frac {m(3m-1)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}}}$

ここで、新しいインデックスk はmと等しくなります。この分割に関連付けられた符号は (−1) ^sであり、これは構成上 (−1) ^mと (−1) ^kに等しいことに注意してください。

2) m = s + 1 であり、右端の対角線と一番下の行が交わる。例えば、

この操作では右対角線を下の行に移動する必要がありますが、そうすると3つの要素が2行に分かれてしまいます。これは、パーティションを別々の部分にカウントしているため禁止されています。これは前のケースですが、行が1つ少ないため、

${\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-2)={\frac {(m-1)(3m-2)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}},}$

ここで、 k = 1− m（負の整数）とします。ここで、関連する符号は (−1) ^sであり、 s =  m  − 1 = − kであるため、符号は再び (−1) ^kです。

要約すると、偶数個の異なる部分への分割と奇数個の異なる部分への分割は、互いに正確に打ち消し合ってゼロ項 0 x ⁿを生成することが示されました。ただし、 nが一般化された五角数である場合は、ちょうど 1 つの Ferrers 図が残り、項 (−1) ^k x ⁿが生成されます。しかし、これはまさに恒等式の右側で予想されることなので、これで終わりです。 ${\displaystyle n=g_{k}=k(3k-1)/2}$

上記の証明は、整数分割を使って言い換えることができます。整数分割は と表します 。ここで です。nの分割数は、生成関数を持つ 分割関数p ( n ) です。${\displaystyle n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{\ell}}$${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{\ell }>0}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{ -1}}$

は、恒等式の左側の積の逆数であることに注意してください。

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})\right)=1}$

積の展開を と表すと 、 ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=1.}$

左辺を乗じて両辺の係数を等しくすると、 すべての に対してa ₀ p (0) = 1 となります。これにより、 a _nに関してp ( n )を定義する再帰関係が得られ、逆に、 p ( n )に関してa _{n を}再帰的に定義します。したがって、望ましい結果は次のようになります。 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p(n-i)a_{i}=0}$${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle a_{i}:={\begin{cases}1&{\text{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ and }}k{\text{ is even}}\\-1&{\text{ if }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\text{ and }}k{\text{ is odd }}\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

は、i がすべての整数にわたる場合の恒等式 と同等です(この範囲には、一般化された五角数の両方を使用できるように、正と負の両方の i が含まれます)。これは、次のことを意味します。 ${\displaystyle i\geq 1}$${\displaystyle \sum _{i}(-1)^{i}p(n-g_{i})=0,}$${\displaystyle g_{i}:=\textstyle {\frac {1}{2}}(3i^{2}-i)}$${\displaystyle g_{i}\leq n}$

${\displaystyle \sum _{i\mathrm {\ even} }p(n-g_{i})=\sum _{i\mathrm {\ odd} }p(n-g_{i}).}$

パーティションのセットに関して言えば、これは次のセットの基数が等しいと言うことと同じです。

${\displaystyle {\mathcal {X}}:=\bigcup _{i\mathrm {\ even} }{\mathcal {P}}(n-g_{i})}$         そして         ${\displaystyle {\mathcal {Y}}:=\bigcup _{i{\text{ odd}}}{\mathcal {P}}(n-g_{i}),}$

ここで、 はのすべての分割の集合を表します。残っているのは、1 つの集合から別の集合への全単射を与えることだけです。これは、XからYへの関数φによって達成され、この関数は、分割を次のように定義される分割にマッピングします。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(n-g_{i})\ni \lambda :n-g_{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dotsb +\lambda _{\ell }}$${\displaystyle \lambda '=\varphi (\lambda )}$

${\displaystyle \varphi (\lambda ):={\begin{cases}\lambda ':n-g_{i-1}=(\ell +3i-2)+(\lambda _{1}-1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }-1)&{\text{ if }}\ell +3i>\lambda _{1}\\\\\lambda ':n-g_{i+1}=(\lambda _{2}+1)+\dotsb +(\lambda _{\ell }+1)+\underbrace {1+\dotsb +1} _{\lambda _{1}-\ell -3i}&{\text{ if }}\ell +3i\leq \lambda _{1}.\end{cases}}}$

これは反転（自己逆写像）であり、したがって特に全単射であり、私たちの主張と同一性を証明します。

五角数定理は、ヤコビの三重積の特殊なケースとして現れます。

Q 級数はオイラー関数を一般化したもの。これはデデキントのイータ関数と密接に関連しており、モジュラー形式の研究で使用されます。オイラー関数の係数(図を参照)はフラクタルモジュラー群の対称性を示し、マンデルブロ集合の内部の研究で使用されます。

• アポストル、トム・M. (1976)、解析的数論入門、数学の学部テキスト、ニューヨーク-ハイデルベルグ：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001
• ハーディ、GH ;ライト、EM (2008) [1938].数論入門. DR ヒースブラウンとJH シルバーマンによる改訂.アンドリュー・ワイルズによる序文. (第6版). オックスフォード:オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-921986-5MR 2445243。Zbl 1159.11001  。 ​

• ジョーダン・ベル (2005)。「オイラーと五角数定理」。arXiv : math.HO /0510054。
• MathPages のオイラーの五角形定理について
• OEISシーケンスA000041（a(n) = nのパーティション数（パーティション番号））
• デ・ミラビリス・プロプリエタティブス・ヌメロラム・ペンタゴナリウム（Scholarly Commons）。