エタンデュ

エタンデュ（/ ˌ eɪ t ɒ n ˈ d uː /、フランス語発音：[etɑ̃dy] ）は、光学系における光の特性であり、光が面積と角度でどの程度「広がっているか」を特徴付ける。これは、ガウスビーム光学におけるビームパラメータ積（BPP）に対応する。エタンデュの他の名称には、受容、スループット、光捕捉、集光力、光学的広がり、^[1]、およびAΩ積などがある。スループットとAΩ積は、特に放射測定と放射伝達で使用され、ビューファクタ（または形状係数）に関連している。これは、非結像光学系における中心的な概念である。^{[2] [ページが必要] [3] [ページが必要] [4] [ページが必要]}

光源の観点から見ると、エタンデュは光源の面積と、光源から見たシステムの入射瞳が占める立体角の積です。同様に、システムの観点から見ると、エタンデュは入射瞳の面積と瞳から見た光源が占める立体角の積に等しくなります。これらの定義は、面積と立体角の極小の「要素」に適用する必要があり、以下に示すように、光源と絞りの両方で合計する必要があります。エタンデュは、位相空間の体積と考えることができます。

光学パワーが保存される光学系では、エタンデュが減少することはありません。^[5]完全な光学系は、光源と同じエタンデュの画像を生成します。エタンデュはラグランジュ不変量と光学不変量に関連しており、これらも理想的な光学系では一定であるという性質を共有しています。光学系の放射輝度は、エタンデュに対する 放射束の微分に等しくなります。

法線n _Sを持つ微小表面要素d S が屈折率nの媒体に浸漬されている。表面は、法線n _Sに対して角度θで、立体角d Ωに限定された光によって横断（または放射）される。光の伝播方向に投影されたd Sの面積はd S cos θである。d Sを横断する微小光束のエタンデュは次のように定義される。

$${\displaystyle \mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega \,.}$$

エタンデュは、幾何学的広がりと、光線が伝搬する媒体の屈折率の二乗の積である。^[1]角度、立体角、屈折率は無次元量であるため、エタンデュは面積の単位（d Sで与えられる）で表されることが多い。ただし、面積（平方メートル）の単位に立体角（ステラジアン）を掛けて表すこともできる。^{[1] [6]}

光源Σと光検出器S を考えてみましょう。どちらも拡張された表面（微分要素ではなく）であり、完全に透明な屈折率nの媒体によって分離されています（図を参照）。システムのエタンデュを計算するには、光源の表面上の各点が受信機の各点に光線を投じる際の寄与を考慮する必要があります。^{[7] [より良い情報源が必要]}

上記の定義によれば、dΣからd Sに向かって交差する光のエタンデュは次のように表されます。

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n^{2}\,\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }{\frac {\mathrm {d} S\cos \theta _{S}}{d^{2}}}\,,}$$

ここで、d Ω _{Σ は}、領域d Sが領域dΣで定義する立体角であり、d は2 つの領域間の距離です。同様に、dΣからd S を横切る光のエタンデュは次のように表されます。

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}{\frac {\mathrm {d} \Sigma \cos \theta _{\Sigma }}{d^{2}}}\,,}$$

ここで、d Ω _Sは面積dΣによって定義される立体角である。これらの式は、

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S}\,,}$$

光が自由空間を伝播するときにエタンデュが保存されることを示しています。

システム全体のエタンデュは次のようになります。

$${\displaystyle G=\int _{\Sigma }\!\int _{S}\mathrm {d} G\,.}$$

dΣとd Sの両方の表面が空気中（または真空中）にある場合、 n = 1となり、上記のエタンデュの式は次のように表すことができます。

$${\displaystyle \mathrm {d} G=\mathrm {d} \Sigma \,\cos \theta _{\Sigma }\,{\frac {\mathrm {d} S\,\cos \theta _{S}}{d^{2}}}=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,\left({\frac {\cos \theta _{\Sigma }\cos \theta _{S}}{\pi d^{2}}}\,\mathrm {d} S\right)=\pi \,\mathrm {d} \Sigma \,F_{\mathrm {d} \Sigma \rightarrow \mathrm {d} S}\,,}$$

ここで、F _{dΣ→d S}は、微分面dΣとd S間の形態係数です。dΣとd Sを積分すると、 G = π Σ F _{Σ→ S}となり、特定の形状の場合の形態係数のリストやいくつかの熱伝達の教科書で提供されているように、2 つの表面間のエタンデュをそれらの表面間の形態係数から取得できます。

与えられた光束のエタンデュは保存されます。つまり、どの光学システムでもエタンデュは増加できますが、減少することはできません。つまり、ある光源からの光を小さな領域に集中させるシステムは、必ず入射立体角 (つまり、光源が占める空の領域) を増加させる必要があります。たとえば、虫眼鏡は小さな点への太陽光の強度を増加させることができますが、これは、光が集中している点から見ると、太陽の見かけの大きさが集中度に比例して増加するためです。

以下に示すように、エタンデュは、光が自由空間を進むとき、および屈折または反射するときに保存されます。また、光が光学系を通過して完全反射または屈折を受けるときにも保存されます。ただし、光がたとえば拡散板に当たると、その立体角が増加し、エタンデュが増加します。エタンデュは一定のままになるか、光が光学系を伝搬するときに増加する可能性がありますが、減少することはできません。これは、エントロピーが一定または増加する必要があるという事実の直接的な結果です。

エタンデュの保存は、光学第一原理、ハミルトン光学、熱力学第二法則など、さまざまな文脈から導き出すことができます。^{[2] [ページが必要]}

熱力学の観点から見ると、エタンデュはエントロピーの一種です。具体的には、光束のエタンデュは、そのエントロピーに だけ寄与します。エタンデュは、他の場所でエントロピーが増加すると指数関数的に減少することがあります。たとえば、物質は光子を吸収して低周波の光子を放出し、エネルギーの差を熱として放出する場合があります。これにより、熱によるエントロピーが増加し、それに応じてエタンデュが減少します。^{[8] [9]}${\displaystyle S_{etendue}=k_{B}\ln \Omega }$

自由空間におけるエタンデュの保存は、形態係数の相互定理に関連しています。

上で説明したエタンデュの保存は、自由空間、またはより一般的には任意の屈折率の媒体における光の伝播の場合に適用されます。特に、エタンデュは屈折と反射で保存されます。^{[2] [ページが必要]}図「屈折におけるエタンデュ」は、屈折率n _Σとn _Sの2つの媒体を分離するxy平面上の微小表面d S を示しています。

d Sの法線はz軸方向を向いています。入射光は立体角d Ω _Σに制限され、その法線に対して角度θ _Σでd Sに到達します。屈折光は立体角d Ω _Sに制限され、その法線に対して角度θ _Sでd Sから出ます。入射光と屈折光の方向は、 x軸に対して角度φ をなす平面に含まれ、球面座標系でこれらの方向を定義します。これらの定義により、スネルの屈折の法則は次のように記述できます 。

$${\displaystyle n_{\Sigma }\sin \theta _{\Sigma }=n_{S}\sin \theta _{S}\,,}$$

およびθに対するその微分

$${\displaystyle n_{\Sigma }\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }=n_{S}\cos \theta _{S}\mathrm {d} \theta _{S}\,,}$$

互いに掛け合わせると

$${\displaystyle n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\!\left(\sin \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \varphi \right)=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\!\left(\sin \theta _{S}\,\mathrm {d} \theta _{S}\,\mathrm {d} \varphi \right)\,,}$$

ここで、両辺には屈折しても変化しない d φも乗じられている。この式は次のように書ける。

$${\displaystyle n_{\Sigma }^{2}\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}\,.}$$

両辺にd Sを掛けると、

$${\displaystyle n_{\Sigma }^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{\Sigma }\,\mathrm {d} \Omega _{\Sigma }=n_{S}^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta _{S}\,\mathrm {d} \Omega _{S}\,;}$$

つまり

$${\displaystyle \mathrm {d} G_{\Sigma }=\mathrm {d} G_{S}\,,}$$

これは、 d Sで屈折した光のエタンデュが保存されることを示しています。同じ結果は、表面d Sでの反射の場合にも有効であり、その場合にはn _Σ = n _Sかつθ _Σ = θ _Sです。

エタンデュ保存則の帰結として、輝度定理が成り立ち、これは、いかなる線形光学系も光源から放射される光の輝度をその光源の表面の輝度よりも高い値にまで高めることはできないことを述べている（ここで「輝度」は、単位放射面積または単位受光面積あたりの単位立体角あたりに放射される光パワーとして定義される）。^[10]

表面の 放射輝度はエタンデュと次のように関係します。

$${\displaystyle L_{\mathrm {e} ,\Omega }=n^{2}{\frac {\partial \Phi _{\mathrm {e} }}{\partial G}}\,,}$$

どこ

• Φ _{e は}放射、反射、透過、または受信される放射束です。
• n はその表面が浸されている屈折率です。
• G は光線のエタンデュです。

光が理想的な光学系を通過する際、エタンデュと放射束は両方とも保存される。したがって、基本放射輝度は次のように定義される。^{[11] [ページが必要]}

$${\displaystyle L_{\mathrm {e} ,\Omega }^{*}={\frac {L_{\mathrm {e} ,\Omega }}{n^{2}}}}$$

も保存されます。実際のシステムでは、エテンデュが増加する場合 (たとえば、散乱により)、または放射束が減少する場合 (たとえば、吸収により) があり、その結果、基本放射輝度が減少することがあります。ただし、エテンデュが減少しない場合や放射束が増加しない場合があり、その結果、基本放射輝度が増加しないことがあります。

ハミルトン光学の文脈では、空間内の点における光線は、点r = ( x , y , z )、光線の方向を示す単位ユークリッドベクトル v = (cos α _X , cos α _Y , cos α _Z )、および点rにおける屈折率nによって完全に定義される。その点における光線の光学運動量は次のように定義される。

$${\displaystyle \mathbf {p} =n(\cos \alpha _{X},\cos \alpha _{Y},\cos \alpha _{Z})=(p,q,r)\,,}$$

ここで‖ p ‖ = nです。光運動量ベクトルの形状は図「光運動量」に示されています。

球面座標系 ではpは次のように表される。

$${\displaystyle \mathbf {p} =n\!\left(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)\,,}$$

そこから

$${\displaystyle \mathrm {d} p\,\mathrm {d} q={\frac {\partial (p,q)}{\partial (\theta ,\varphi )}}\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left({\frac {\partial p}{\partial \theta }}{\frac {\partial q}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial p}{\partial \varphi }}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right)\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =n^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega \,,}$$

したがって、屈折率nの媒質に浸されたxy平面上の微小領域d S = d x d yの場合、エタンデュは次のように表される。

$${\displaystyle \mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} p\,\mathrm {d} q\,,}$$

これは位相空間x、y、p、qにおける無限小の体積である。位相空間におけるエタンデュの保存は、光学においては古典力学におけるリウヴィルの定理に相当する。^{[2] [要ページ]位相空間における体積としてのエタンデュは}、非結像光学系でよく使われる。

屈折率nの媒質に浸された微小表面d S を考えてみましょう。この表面を光が角度αの円錐の内側で横切る（または放射する）とします。この光のエタンデュは次のように表されます。

$${\displaystyle \mathrm {d} G=n^{2}\,\mathrm {d} S\int \cos \theta \,\mathrm {d} \Omega =n^{2}\mathrm {d} S\int _{0}^{2\pi }\!\int _{0}^{\alpha }\cos \theta \sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\pi n^{2}\mathrm {d} S\sin ^{2}\alpha \,.}$$

n sin α は光線の開口数 NAであることに留意すると、これは次のようにも表される。

$${\displaystyle \mathrm {d} G=\pi \,\mathrm {d} S\,\mathrm {NA} ^{2}\,.}$$

dΩは球面座標系で表現されることに注意してください。ここで、大きな表面Sを、角度αの円錐内に限定された光が横切る（または放射する）場合、 Sを横切る光のエタンデュは

$${\displaystyle G=\pi n^{2}\sin ^{2}\alpha \int \mathrm {d} S=\pi n^{2}S\sin ^{2}\alpha =\pi S\,\mathrm {NA} ^{2}\,.}$$

最大集光限界（図示）は、空気中（n _i = 1 ）の入射口Sを持つ光学系で、角度2 α（受光角）の立体角内で光を集め、屈折率nの媒体に浸漬されたより小さな面積の受信機Σに送り、その点が角度2 βの立体角内で照射される。上記の式から、入射光のエタンデュは

$${\displaystyle G_{\mathrm {i} }=\pi S\sin ^{2}\alpha }$$

そして、受信機に到達する光のエタンデュは

$${\displaystyle G_{\mathrm {r} }=\pi n^{2}\Sigma \sin ^{2}\beta \,.}$$

エタンデュ保存則G _i = G _rは次のように表される。

$${\displaystyle C={\frac {S}{\Sigma }}=n^{2}{\frac {\sin ^{2}\beta }{\sin ^{2}\alpha }}\,,}$$

ここで、Cは光学系の濃度である。入射光の与えられた角度αに対して、この濃度はsin βの最大値、すなわちβ = π /2に対して最大となる。最大濃度は^{[2] [ページ必要] [3]}

$${\displaystyle C_{\mathrm {max} }={\frac {n^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}\,.}$$

事故指数が1でない場合は、

$${\displaystyle G_{\mathrm {i} }=\pi n_{\mathrm {i} }S\sin ^{2}\alpha =G_{\mathrm {r} }=\pi n_{\mathrm {r} }\Sigma \sin ^{2}\beta \,,}$$

など

$${\displaystyle C=\left({\frac {\mathrm {NA} _{\mathrm {r} }}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }}}\right)^{2}\,,}$$

そして最良の場合の極限β = π /2では、これは

$${\displaystyle C_{\mathrm {max} }={\frac {n_{\mathrm {r} }^{2}}{\mathrm {NA} _{\mathrm {i} }^{2}}}\,.}$$

光学系が集光器ではなくコリメータである場合、光の方向は逆になり、エタンデュの保存により、与えられた出力全角2 αに対する最小開口Sが得られます。

• ビームエミッタンス
• ビームパラメータ積
• ライトフィールド
• ネーターの定理
• シンプレクティック幾何学

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• Greivenkamp, John E. (2004)。『幾何光学フィールドガイド』。SPIEフィールドガイド。Vol. FG01。SPIE。ISBN 0-8194-5294-7。
• マンロー、ランドール（nd）。「Fire from Moonlight」。What If?。2023年8月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年7月28日閲覧。 xkcd –著者のランドール・マンローは、エタンデュ保存の議論を用いて、集中した月光で火をつけることが不可能である理由を説明しています。
• Sun, Xutao; Zheng, Zhenrong; Liu, Xu; Gu, Peifu (2006 年 3 月)。「楕円反射鏡を備えた光源のエテンデュ解析と測定」。ディスプレイ。27 ( 2): 56–61。