ビームエミッタンス

加速器物理学において、エミッタンスとは荷電粒子ビームの特性であり、位置と運動量の 位相空間においてビームが占める面積を指します。^[1]

ビーム内の各粒子は、 3 つの直交軸のそれぞれに沿った位置と運動量で記述でき、合計 6 つの位置と運動量の座標があります。1 つの軸の位置と運動量を 2 次元グラフにプロットすると、このプロット上の座標の平均の広がりが放射率になります。したがって、ビームには各軸に沿って 1 つずつ、独立して記述できる 3 つの放射率があります。軸に沿った粒子の運動量は通常、その軸に対する角度で記述されるため、位置運動量プロット上の領域は長さ × 角度 (たとえば、ミリメートル × ミリラジアン) の次元になります。^{[1] : 78–83}

粒子ビームの解析にはエミッタンスが重要である。ビームが保存力のみを受けている限り、 リウヴィルの定理はエミッタンスが保存量であることを示している。位相空間上の分布がプロット内の雲として表される場合（図を参照）、エミッタンスはその雲の面積である。雲の境界があいまいな場合や、楕円形ではない雲の場合を扱う、より正確な定義は様々である。さらに、各軸に沿ったエミッタンスは、ビームがそれらを相関させるビームライン要素（ソレノイド磁石など）を通過しない限り、独立している。^[2]

低エミッタンス粒子ビームとは、粒子が短い距離に閉じ込められ、ほぼ同じ運動量を持つビームのことで、ビーム全体が目的地まで輸送されることを保証するために望ましい特性です。衝突型ビーム加速器では、エミッタンスを小さく保つことは、粒子の相互作用の可能性が高くなり、結果として輝度が上がることを意味します。^[3]シンクロトロン光源 では、エミッタンスが低いということは、結果として得られるX線ビームが小さくなり、輝度が高くなることを意味します。^[4]

加速器内の粒子の動きを表すのに使用される座標系には 3 つの直交軸がありますが、空間内の固定点を中心とするのではなく、意図された速度、位置、または方向から逸脱することなく加速器内を移動する「理想的な」粒子の軌道を基準に方向付けられます。この設計軌道に沿った動きは縦軸と呼ばれ、この軌道に垂直な 2 つの軸 (通常は水平と垂直)は横軸と呼ばれます。最も一般的な慣例では、縦軸にラベルが付けられ、横軸にラベルが付けられます。^{[1] : 66–70}${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

放射率は長さの単位を持ちますが、通常は「長さ × 角度」で表されます (例: 「ミリメートル × ミリラジアン」)。放射率は 3 つの空間次元すべてで測定できます。

粒子が円形加速器または蓄積リングを通過するとき、粒子のx方向の位置と角度は位相空間で楕円を描く。（このセクションのすべては、およびに等しく適用される）この楕円は次の式で記述できる：^{[1] ：81}${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle x/x'}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$

${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\pi }}=\gamma x^{2}+2\alpha xx'+\beta x'^{2}}$

ここで、xとx ′は粒子の位置と角度であり、楕円の形状から計算される Courant-Snyder（Twiss）パラメータです。${\displaystyle \beta ,\alpha ,\gamma }$

放射率は で与えられ、長さ × 角度の単位を持ちます。しかし、多くの情報源では、特定の値を含めるのではなく、 の係数を放射率の単位に移し、 「長さ × 角度 × 」の単位を与えます。 ^{[2] : 335–336}${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

この式は単一粒子の放射率であり、位相空間における単一粒子の軌道によって囲まれる領域を表します。ただし、放射率は単一粒子よりもビーム内の粒子の集合的な特性を表すのに適しています。ビーム粒子は位相空間で必ずしも均一に分布しているわけではないため、ビーム全体の放射率の定義は、ビーム粒子の特定の部分を囲むために必要な楕円の面積に基づいて行われます。

ビームがガウス分布で位相空間に分布している場合、ビームの放射率は の二乗平均平方根値と放射率に含まれるビームの割合 で指定できます。${\displaystyle x}$

ガウスビームの放射率の式は次の通りである: ^{[1] : 83}

${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {2\pi \sigma ^{2}}{\beta }}ln(1-F)}$

ここで、はビームの二乗平均平方根幅、はクーラン・スナイダー、 は楕円で囲まれるビームの割合で、0から1の間の数値で与えられます。ここで、 の係数は式の右側に示されており、計算値に掛けられるのではなく、放射率の単位に含まれることがよくあります。^{[2] : 335–336}${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \pi }$

選択される値はアプリケーションと著者によって異なり、文献にはさまざまな選択肢が存在します。一般的な選択肢とそれに相当する放射率の定義は次のとおりです。^{[1] : 83}${\displaystyle F}$

x 軸と y 軸は数学的には通常同じですが、x 座標がリングの平面を表す水平リングでは、分散を放射率の式に追加できます。曲げ磁石の磁力は曲げられる粒子のエネルギーに依存するため、異なるエネルギーの粒子は、初期位置と角度が同じであっても、磁石を通る異なる軌道に沿って曲げられます。この分散がビーム放射率に与える影響は、次の式で表されます。

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}^{2}}{\beta _{x}(s)}}-{\frac {D(s)^{2}}{\beta _{x}}}({\frac {\sigma _{p}}{p_{o}}})^{2}}$

ここで、は位置sにおける分散、は理想的な粒子の運動量、はビーム内の粒子の理想的な運動量からの運動量の差の二乗平均平方根である。（この定義ではF=0.15と仮定）^{[1] ：91}${\displaystyle D(s)}$${\displaystyle p_{o}}$${\displaystyle \sigma _{p}}$

縦方向の放射量の幾何学的定義は、横方向の放射量よりも複雑です。 および座標は、静止している基準軌道からの偏差を表しますが、座標は、指定されたエネルギーで移動する基準粒子からの偏差を表します。 この偏差は、基準軌道に沿った距離、基準軌道に沿った飛行時間 (粒子が基準と比較してどれだけ「早い」か「遅い」か)、または位相 (指定された基準周波数の場合) で表すことができます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

一方、座標は一般に角度として表現されません。座標は時間の経過に伴うzの変化を表すため、粒子の前進運動に対応します。これは、速度、運動量、エネルギーなどの絶対値で表すことも、基準粒子の位置、運動量、エネルギーの割合などの相対値で表すこともできます。^{[1] : 32}${\displaystyle z'}$${\displaystyle z'}$

ただし、放射率の基本的な概念は同じです。ビーム内の粒子の位置は位相空間プロットの 1 つの軸に沿ってプロットされ、時間の経過に伴うそれらの位置の変化率はもう 1 つの軸にプロットされ、放射率はそのプロット上で占める領域の尺度となります。

縦方向放射率の1つの定義は次のようになります。

${\displaystyle \varepsilon _{\phi }=\int _{S}{\frac {\Delta E}{\omega _{rf}}}d\phi }$

ここで積分はビーム粒子を位相空間にしっかりと囲む経路に沿って行われます。ここで は基準周波数であり、縦座標は基準粒子に対する粒子の位相です。このような縦方程式は、解析的にではなく数値的に解く必要があることがよくあります。^{[3] : 218}${\displaystyle S}$${\displaystyle E/\phi }$${\displaystyle \omega _{rf}}$${\displaystyle \phi }$

放射率の幾何学的定義では、位相空間における粒子の分布が楕円で十分に特徴付けられると想定しています。さらに、粒子分布の二乗平均平方根を使用する定義では、ガウス粒子分布を前提としています。

これらの仮定が成り立たない場合でも、分布のモーメントを使用してビーム放射率を定義することは可能です。ここで、RMS放射率（ ）は次のように定義されます。^[5]${\displaystyle \varepsilon _{\text{RMS}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\langle x^{2}\rangle \langle x^{\prime 2}\rangle -\langle x\cdot x^{\prime }\rangle ^{2}}}}$

ここで、は粒子の位置の分散、は粒子が加速器内の移動方向となす角度の分散（移動方向に沿って）、はビーム内の粒子の角度と位置の相関を表します。この定義は、位相空間における楕円粒子分布の場合の幾何学的エミッタンスに相当します。 ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$${\displaystyle \langle x^{\prime 2}\rangle }$${\textstyle x^{\prime }={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \langle x\cdot x^{\prime }\rangle }$

放射率は、ビームの位相空間座標の分散共分散行列の行列式として表現することもできます。この場合、その量は、2 次統計の観点からビームが占める有効面積を表すことが明らかになります。

${\displaystyle \varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle \\\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle \end{vmatrix}}}}$

状況に応じて、RMS 放射率の一部の定義では、同じ割合を使用した幾何学的放射率との比較を容易にするために、総分布の割合に対応するスケーリング係数が追加されます。

4次元の横方向位相空間 (IE 、、、、)または粒子の完全な 6 次元位相空間 (IE 、、、、、、、)のいずれかの位相空間領域について話すことが役立つ場合があります。RMS放射率は、次のように完全な 3 次元空間に一般化されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{\prime }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{\prime }}$${\displaystyle \Delta z}$${\displaystyle \Delta z^{\prime }}$

${\displaystyle \varepsilon _{{\text{RMS}},6D}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x\cdot y\rangle &\langle x\cdot y^{\prime }\rangle &\langle x\cdot z\rangle &\langle x\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle x^{\prime }\cdot x\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot y\rangle &\langle x^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot z\rangle &\langle x^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle y\cdot x\rangle &\langle y\cdot x^{\prime }\rangle &\langle y\cdot y\rangle &\langle y\cdot y^{\prime }\rangle &\langle y\cdot z\rangle &\langle y\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle y^{\prime }\cdot x\rangle &\langle y^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &\langle y^{\prime }\cdot z\rangle &\langle y^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle z\cdot x\rangle &\langle z\cdot x^{\prime }\rangle &\langle z\cdot y\rangle &\langle z\cdot y^{\prime }\rangle &\langle z\cdot z\rangle &\langle z\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle z^{\prime }\cdot x\rangle &\langle z^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &\langle z^{\prime }\cdot y\rangle &\langle z^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}}$

粒子加速器内の異なる軸間に相関関係がない場合、これらの行列要素のほとんどはゼロになり、各軸に沿ったエミッタンスの積が残ります。

${\displaystyle \varepsilon _{{\text{RMS}},6D}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &0&0&0&0\\\langle x^{\prime }\cdot x\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &0&0&0&0\\0&0&\langle y\cdot y\rangle &\langle y\cdot y^{\prime }\rangle &0&0\\0&0&\langle y^{\prime }\cdot y\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &0&0\\0&0&0&0&\langle z\cdot z\rangle &\langle z\cdot z^{\prime }\rangle \\0&0&0&0&\langle z^{\prime }\cdot z\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle \\\langle x^{\prime }\cdot x\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}{\sqrt {\begin{vmatrix}\langle y\cdot y\rangle &\langle y\cdot y^{\prime }\rangle \\\langle y^{\prime }\cdot y\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}{\sqrt {\begin{vmatrix}\langle z\cdot z\rangle &\langle z\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle z^{\prime }\cdot z\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}=\varepsilon _{x}\varepsilon _{y}\varepsilon _{z}}$

これまでのエミッタンスの定義は線形ビーム輸送では一定ですが、粒子が加速されると変化します (断熱減衰と呼ばれる効果)。線形加速器、光インジェクター、および大規模システムの加速セクションなどの一部のアプリケーションでは、異なるエネルギー間でビーム品質を比較することが重要になります。この目的には、加速下で不変である正規化エミッタンスが使用されます。

1次元の正規化放射率は次のように表されます。

${\displaystyle \varepsilon _{n}={\sqrt {\langle x^{2}\rangle \langle \left(\gamma \beta _{x}\right)^{2}\rangle -\langle x\cdot \gamma \beta _{x}\rangle ^{2}}}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot \gamma \beta _{x}\rangle \\\langle x\cdot \gamma \beta _{x}\rangle &\langle \gamma \beta _{x}\cdot \gamma \beta _{x}\rangle \end{vmatrix}}}}$

以前の定義の角度は、正規化された横方向運動量 に置き換えられました。ここで、はローレンツ因子、 は正規化された横方向速度です。 ${\textstyle x^{\prime }={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}}$${\textstyle {\frac {p_{x}}{mc}}=\gamma \beta _{x}}$${\displaystyle \gamma }$${\textstyle \beta _{x}=v_{x}/c}$

正規化放射率は、前述の放射率の定義とビームの移動方向の正規化速度（）に関連している：^[6]${\displaystyle \gamma }$${\textstyle \beta _{z}=v_{z}/c}$

${\displaystyle \varepsilon _{n}=\gamma \beta _{z}\varepsilon }$

正規化されたエミッタンスはエネルギーの関数として変化しないため、粒子が加速された場合のビームの劣化を示すために使用できます。 が1 に近い光速に近い速度の場合、エミッタンスはエネルギーにほぼ反比例します。 この場合、ビームの物理的な幅はエネルギーの平方根に反比例して変化します。 ${\displaystyle \beta =v/c}$

正規化されたエミッタンスの高次元バージョンは、すべての角度を対応する運動量に置き換えることによって、RMS バージョンと同様に定義できます。

ビーム放射率を測定する最も基本的な方法の1つは、四重極スキャン法です。特定の関心面（水平または垂直）のビーム放射率は、モニター（ワイヤまたはスクリーン）の上流にある四重極（または複数の四重極）の電界強度を変化させることによって得られます。^[4]

ビームの特性は、次のビーム マトリックスとして記述できます。

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle \\\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}}$

ここで、は縦座標に対する x の導関数です。ビームがビームラインを伝わり、四重極を通過するときに受ける力は、四重極とドリフトなどの他のビームラインコンポーネントを含むビームラインの転送マトリックス (転送マップ ページを参照) を使用して記述されます。 ${\textstyle x^{\prime }={dx \over dz}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=S_{1}QS_{2}={\begin{pmatrix}r_{11}&r_{12}\\r_{21}&r_{22}\end{pmatrix}}}$

ここで、 は元のビーム位置と四重極子の間の転送行列、は四重極子の転送行列、 は四重極子とモニター画面の間の転送行列です。四重極子のスキャン処理中、は一定のままで、 は四重極子の電界強度に応じて変化します。 ${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle Q}$

元の位置から距離 s 離れたモニター画面に到達する最終ビームは、別のビーム行列として記述できます。 ${\displaystyle \Sigma _{s}}$

${\displaystyle \Sigma _{s}={\begin{bmatrix}\langle x_{s}\cdot x_{s}\rangle &\langle x_{s}\cdot x_{s}^{\prime }\rangle \\\langle x_{s}\cdot x_{s}^{\prime }\rangle &\langle x_{s}^{\prime }\cdot x_{s}^{\prime }\rangle \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{s,11}&\sigma _{s,12}\\\sigma _{s,21}&\sigma _{s,22}\end{bmatrix}}}$

最終的なビーム行列は、ビームライン転送行列との行列乗算を行うことで、元のビーム行列から計算できます。 ${\displaystyle \Sigma _{s}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \Sigma _{s}=R\Sigma R^{T}}$

の転置はどこですか。 ${\displaystyle R^{T}}$${\displaystyle R}$

ここで、行列乗算全体を通して最終ビーム行列の (1,1) 要素に注目すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \sigma _{s,11}=r_{11}^{2}\sigma _{11}+2r_{11}r_{12}\sigma _{12}+r_{12}^{2}\sigma _{22}}$

ここで、中間の項の因数は 2 です。 ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$

上記の式の両辺を で割ると、式は次のようになります。 ${\displaystyle r_{12}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\sigma _{s,11}}{r_{12}^{2}}}={\frac {r_{11}^{2}}{r_{12}^{2}}}\sigma _{11}+2{\frac {r_{11}}{r_{12}}}\sigma _{12}+\sigma _{22}}$

これは変数の二次方程式です。RMS 放射率 RMS は次のように定義されます。 ${\textstyle {\frac {r_{11}}{r_{12}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\langle x^{2}\rangle \langle x^{\prime 2}\rangle -\langle x\cdot x^{\prime }\rangle ^{2}}}}$

元のビームの RMS 放射率は、ビーム行列要素を使用して計算できます。

${\displaystyle \varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\sigma _{11}\sigma _{22}-\sigma _{12}^{2}}}}$

放射率の測定には、次の手順に従います。

1. 四重極子の各値（または値の組み合わせ）に対して、ビームライン転送伝達行列が計算され、およびの値が決まります。${\displaystyle R}$${\displaystyle r_{11}}$${\displaystyle r_{12}}$
2. ビームはさまざまなビームラインを通って伝播し、モニター画面で観察され、ビームサイズが測定されます。${\textstyle \sigma _{s,11}}$
3. 手順 1 と 2 を繰り返して、およびの一連の値を取得し、その結果を放物線に当てはめます。${\textstyle {\frac {\sigma _{s,11}}{r_{12}^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {r_{11}}{r_{12}}}}$${\textstyle {\frac {\sigma _{s,11}}{r_{12}^{2}}}=A\left({\frac {r_{11}}{r_{12}}}\right)^{2}+B\left({\frac {r_{11}}{r_{12}}}\right)+C}$
4. 放物線適合パラメータを元の梁行列要素と等しくします: 、、。${\textstyle A=\sigma _{11}}$${\displaystyle B=2\sigma _{12}}$${\displaystyle C=\sigma _{22}}$
5. 元のビームの RMS 放射率を計算します。${\textstyle \varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\sigma _{11}\sigma _{22}-\sigma _{12}^{2}}}}$

四重極の長さが焦点距離 （四重極の場の強度）に比べて短い場合、その伝達行列は薄レンズ近似によって近似できます。 ${\displaystyle f=1/K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}1&0\\K&1\end{pmatrix}}}$

次に、測定されたビームサイズと四重極強度の値に放物線を当てはめることによって、RMS エミッタンスを計算できます。 ${\displaystyle \sigma _{x}^{2}}$${\displaystyle K}$

追加の四重極子を追加することで、この技術は完全な4D再構成に拡張できます。^[7]

エミッタンスを測定するためのもう一つの基本的な方法は、あらかじめ定義されたマスクを使用してビームにパターンを刻印し、下流のスクリーンで残りのビームをサンプリングすることです。そのようなマスクには、ペッパーポット^[8]とTEMグリッド^[9]があります。TEM  グリッド測定の概略図を以下に示します。

マスク内の特徴の間隔に関する知識を利用することで、マスク面におけるビームサイズに関する情報を抽出できます。下流のサンプルビーム上の同じ特徴間の間隔を測定することで、ビームの角度に関する情報を抽出できます。メリット量は、Marxら^{[10]で説明されているように抽出できます。}

マスクの選択は、一般的にビームの電荷に依存します。電荷の少ないビームの場合は、より多くのビームが透過されるため、ペッパーポットよりも TEM グリッド マスクの方が適しています。

蓄積リングでRMSエミッタンスが特定の値をとる理由を理解するには、電子蓄積リングと、より重い粒子 (陽子など) を含む蓄積リングを区別する必要があります。電子蓄積リングでは、放射線は重要な効果ですが、他の粒子が蓄積されている場合、通常は小さな効果です。放射線が重要な場合、粒子は放射線減衰(ターンごとにエミッタンスがゆっくりと減少します) と量子励起による拡散を受け、平衡エミッタンスになります。^[11] 放射線が存在しない場合、エミッタンスは一定のままです (インピーダンス効果とビーム内散乱を除く)。この場合、エミッタンスは初期の粒子分布によって決まります。特に、「小さな」エミッタンスを注入すると、エミッタンスは小さいままですが、「大きな」エミッタンスを注入すると、エミッタンスは大きいままです。

アクセプタンス（アドミタンスとも呼ばれる）^[12]は、ビーム輸送システムまたは分析システムが伝送できる最大放射量である。これは位相空間に変換されたチャンバーのサイズであり、ビーム放射量の定義の曖昧さの影響を受けない。

レンズはビームを集束させ、横方向の 1 次元のサイズを縮小しながら角度の広がりを増やすことができますが、総放射率を変えることはできません。これは、リウヴィルの定理の結果です。ビーム放射率を減らす方法には、放射減衰、確率的冷却、電子冷却などがあります。

放射率はビームの明るさにも関係しています。顕微鏡では、ビームの電流を含み、ほとんどのシステムが円対称であるため、明るさが非常によく使用されます^{[説明が必要]}。サンプルへの入射ビームの明るさを考えてみましょう。

${\displaystyle B={\frac {I}{\lambda \varepsilon }}}$

ここで、はビーム電流を示し、入射ビームの全エミッタンスと入射電子の波長を表します。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \lambda }$

初期位相空間で正規分布を記述する固有放射率は、収差によって導入される放射率によって拡散されます。総放射率は、ほぼ求積法の合計です。単位角度あたりの電流による開口部の均一な照明を仮定すると、放射率と明るさの関係は次のようになります。 ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{\chi }}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle B={\frac {J\pi \alpha _{0}^{2}}{\lambda {\sqrt {\varepsilon _{i}^{2}+\varepsilon _{\chi }^{2}}}}}}$

• 加速器物理学
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• 平均横方向エネルギー