アイレンベルク＝ジルバーの定理

数学、特に代数トポロジーにおいて、アイレンベルク・ジルバーの定理は、積空間のホモロジー群間の関係を確立する上で重要な結果である。${\displaystyle X\times Y}$そして空間の${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$この定理は、1953年にサミュエル・アイレンバーグとジョセフ・A・ジルバーによってアメリカ数学ジャーナルに発表された論文で初めて示された。証明への一つの可能​​な道筋は、非巡回モデル定理である。

この定理は次のように定式化できる。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$これらは位相空間である。次に、3つの鎖複体がある。${\displaystyle C_{*}(X)}$、${\displaystyle C_{*}(Y)}$、 そして${\displaystyle C_{*}(X\times Y)}$（この議論は単体鎖複体にも特異鎖複体にも同様に適用される。）また、テンソル積複体も存在する。${\displaystyle C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}$定義により、その微分は、

$\displaystyle \partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}(\sigma \otimes \tau )=\partial _{X}\sigma \otimes \tau +(-1)^{p}\sigma \otimes \partial _{Y}\tau }$

のために${\displaystyle \sigma \in C_{p}(X)}$そして$\displaystyle \partial _{X}}$、$\displaystyle \partial _{Y}}$差分${\displaystyle C_{*}(X)}$、${\displaystyle C_{*}(Y)}$。

すると定理によれば、連鎖写像が存在する。

${\displaystyle F\colon C_{*}(X\times Y)\rightarrow C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y),\quad G\colon C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)\rightarrow C_{*}(X\times Y)}$

そのため${\displaystyle FG}$アイデンティティと${\displaystyle GF}$は恒等写像と鎖ホモトピックである。さらに、写像は自然である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$したがって、2つの複合体は同じ相同性を持つ必要がある。

${\displaystyle H_{*}(C_{*}(X\times Y))\cong H_{*}(C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)).}$

元の定理は非巡回モデルの観点から証明されたが、写像の明示的な式は${\displaystyle G}$そしてホモトピー${\displaystyle H}$後にアイレンバーグとマックレーンによって発見された。標準地図${\displaystyle F}$彼らが作成するものは伝統的にアレクサンダー・ホイットニー地図と呼ばれ、${\displaystyle G}$アイレンベルク＝ジルバー地図。地図は両方とも自然である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$そしてホモトピーを除いて逆である。

${\displaystyle FG=\mathrm {id} _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)},\qquad GF-\mathrm {id} _{C_{*}(X\times Y)}=\partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}H+H\partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}}$

ホモトピーの場合${\displaystyle H}$両方とも自然${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$さらに、${\displaystyle HH}$、${\displaystyle FH}$、 そして${\displaystyle HG}$はゼロです。これは、後に収縮またはホモトピー収縮データとして知られるようになるものです。

対角線地図${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$コチェイン複合体のマップを誘導する${\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X\times X)}$続いてアレクサンダー・ホイットニー${\displaystyle F}$副生成物を生成する${\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X)\otimes C_{*}(X)}$標準副産物を誘導する${\displaystyle H_{*}(X)}$これらの副産物に関して ${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$地図

${\displaystyle H_{*}(X)\otimes H_{*}(Y)\to H_{*}{\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}\ {\overset {\sim }{\to }}\ H_{*}(X\times Y)}$、

アイレンベルク・ジルバー写像とも呼ばれるこの写像は、微分次数付き余代数の写像となる。${\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X)\otimes C_{*}(X)}$それ自体は余代数の写像ではない。

アレクサンダー・ホイットニー写像とアイレンベルク・ジルバー写像は、（可換係数環の任意の選択において）双対化する。${\displaystyle k}$（統一性を持つ）一対のマップへ

${\displaystyle G^{*}\colon C^{*}(X\times Y)\rightarrow {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*},\quad F^{*}\colon {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*}\rightarrow C^{*}(X\times Y)}$

これらは、前述の方程式の双対によって証明されるように、双対ホモトピーを使用してホモトピー同値でもある。${\displaystyle H^{*}}$余積は直接双対化されない。なぜなら、双対化は無限生成モジュールのテンソル積には分配されないからである。しかし、微分次数付き代数の自然な注入が存在する。${\displaystyle i\colon C^{*}(X)\otimes C^{*}(Y)\to {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*}}$によって与えられた${\displaystyle \alpha \otimes \beta \mapsto (\sigma \otimes \tau \mapsto \alpha (\sigma )\beta (\tau ))}$係数環で積をとる${\displaystyle k}$。 これ${\displaystyle i}$コホモロジーに同型写像を誘導するため、微分次数代数写像のジグザグ構造が実現する。

${\displaystyle C^{*}(X)\otimes C^{*}(X)\ {\overset {i}{\to }}\ {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(X){\big )}^{*}\ {\overset {G^{*}}{\leftarrow }}\ C^{*}(X\times X){\overset {C^{*}(\Delta )}{\to }}C^{*}(X)}$

製品を誘発する${\displaystyle \smile \colon H^{*}(X)\otimes H^{*}(X)\to H^{*}(X)}$コホモロジーでは、カップ積として知られています。${\displaystyle H^{*}(i)}$そして${\displaystyle H^{*}(G)}$は同型写像です。${\displaystyle G^{*}}$と${\displaystyle F^{*}}$つまり、マップはすべて同じ方向になり、コチェイン上の標準的なカップ積が得られます。

${\displaystyle \alpha \otimes \beta \mapsto {\Big (}\sigma \mapsto (\alpha \otimes \beta )(F^{*}\Delta ^{*}\sigma )=\sum _{p=0}^{\dim \sigma }\alpha (\sigma |_{\Delta ^{[0,p]}})\cdot \beta (\sigma |_{\Delta ^{[p,\dim \sigma ]}}){\Big )}}$、

これは、コチェーン評価以来${\displaystyle C^{p}(X)\otimes C_{q}(X)\to k}$消える${\displaystyle p=q}$は、より馴染みのある表現に簡略化されます。

この直接マップの場合、注意${\displaystyle C^{*}(X)\otimes C^{*}(X)\to C^{*}(X)}$コチェイン複体の写像が実際には微分次数付き代数の写像であった場合、カップ積は${\displaystyle C^{*}(X)}$これは可換次数付き代数ではない。アレクサンダー・ホイットニー写像が余代数写像にならないのは、非零標数の体上のコホモロジーに対して可換コチェインレベルモデルが利用できないことの一例であり、ある意味で安定ホモトピー理論の微妙さと複雑さの多くを担っている。

交差複体を用いた非可換の場合への重要な一般化は、以下のAndrew Tonksの論文で示されています。この論文では、 Ronald BrownとPhilip J. Higginsによる分類空間に関する論文で述べられてはいるものの証明されていない、交差複体の（単体）分類空間に関する結果の詳細が示されています。

アイレンベルク・ジルバーの定理は、ホモロジー群を表すキュンネスの定理を確立する上で重要な要素である。${\displaystyle H_{*}(X\times Y)}$に関しては${\displaystyle H_{*}(X)}$そして${\displaystyle H_{*}(Y)}$アイレンベルク・ジルバーの定理に照らして、キュンネスの定理の内容は、テンソル積複体のホモロジーが因子のホモロジーとどのように関係しているかを分析することにある。

• 非巡回モデル

• アイレンバーグ、サミュエル；ジルバー、ジョセフ A. (1953)、「複素数の積について」、American Journal of Mathematics、第 75 巻、第 1 号、pp. 200–204、doi : 10.2307/2372629、JSTOR 2372629、MR 0052767   。
• アイレンバーグ、サミュエル；マクレーン、サンダース（1954）、「群 H( Π ,n) について II: 計算方法」、Annals of Mathematics (Second Series)  、第60巻、第 1 号、 49–139 ページ、doi : 10.2307/1969702、JSTOR 1969702  。
• ハッチャー、アレン（2002）、『代数トポロジー』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-79540-1。
• Tonks, Andrew (2003)、「交差複体に関するEilenberg–Zilberの定理について」、Journal of Pure and Applied Algebra、第 179巻、第1–2号、 199–230ページ、doi : 10.1016/S0022-4049(02)00160-3、MR 1958384   。
• Brown, Ronald ; Higgins, Philip J. (1991)、「交差複体の分類空間」、Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society、110 (1): 95–120、CiteSeerX 10.1.1.145.9813、doi : 10.1017/S0305004100070158 。