アイレンベルク＝マズール詐欺事件

数学において、アイレンベルク・マズール詐欺は、サミュエル・アイレンベルクとバリー・マズールにちなんで名付けられた、無限和の逆説的な性質を利用した証明法である。幾何トポロジーでは、マズール^{[ 1 ] [ 2 ]}によって導入され、しばしばマズール詐欺と呼ばれる。代数学では、サミュエル・アイレンベルクによって導入され、アイレンベルク詐欺またはアイレンベルク望遠鏡（望遠鏡和を参照）として知られている 。

 アイレンベルク＝マズールの詐欺は、1 ＝ 0であることを示す以下の有名なジョークの「証明」に似ている。

1  =  1  +  ( − 1  +  1)  +  ( − 1  +  1)  +  ...  =  1 − 1 + 1 − 1 + ... = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0                    

この「証明」は、グランディの級数1 − 1 + 1 − 1 + ...が収束しないため、実数に関する主張としては有効ではありませんが、無限和が意味を持つような対象に対して何らかの「加算」が定義されているような状況では、同様の議論を使用して、もし        ${\displaystyle A+B=0}$それから${\displaystyle A=B=0}$。

幾何学的トポロジーでは、スウィンドルで使用される加算は通常、結び目または多様体の連結和です。

マズール詐欺の典型的な応用例は、 2 つの非自明な結び目の和の証明です。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は自明ではない。^{[ 3 ]}結び目については、結び目をどんどん小さくすることで無限和を取ることができるので、${\displaystyle A+B}$ならば些細なことだ

${\displaystyle A=A+(B+A)+(B+A)+\cdots =(A+B)+(A+B)+\cdots =0}$

それで${\displaystyle A}$些細なこと（そして${\displaystyle B}$（類推論による）。結び目の無限和は通常、扱いやすい結び目ではなく、野生の結び目である。この詐欺の幾何学的な例は数多くある。^{[ 4 ]}

指向性${\displaystyle n}$-多様体は連結和によって与えられる加算演算を持ち、単位元は${\displaystyle n}$-球体。もし${\displaystyle A+B}$は${\displaystyle n}$-球体、次に${\displaystyle A+B+A+B+\cdots }$はユークリッド空間なので、マズール詐欺は、連結和が${\displaystyle A}$そしてユークリッド空間は再びユークリッド空間である。したがって${\displaystyle A}$はユークリッド空間の一点コンパクト化であり、したがって${\displaystyle A}$は同相である${\displaystyle n}$-球。（これは滑らかな多様体の場合には示さないが、${\displaystyle A}$は、${\displaystyle n}$-球、そしていくつかの次元では、${\displaystyle 7}$異質な球体の例もある${\displaystyle A}$標準と微分同相でない逆関数を持つ${\displaystyle n}$-球。）

代数学では、この詐欺で使われる加算は通常、環上の加群の直和です。

代数学におけるアイレンベルク詐欺の典型的な応用例 は、次の証明である。${\displaystyle A}$は環上の射影加群である${\displaystyle R}$すると無料モジュールがあります${\displaystyle F}$と${\displaystyle A\oplus F\cong F}$[ ^{5 ] [ 6 ]}これを見るには、モジュールを選択して^ください${\displaystyle B}$そのため${\displaystyle A\oplus B}$無料であり、次のように実行できます。${\displaystyle A}$射影的であり、

${\displaystyle F=B\oplus A\oplus B\oplus A\oplus B\oplus \cdots }$

となることによって

${\displaystyle A\oplus F=A\oplus (B\oplus A)\oplus (B\oplus A)\oplus \cdots =(A\oplus B)\oplus (A\oplus B)\oplus \cdots \cong F.}$

この詐欺の別の応用例として、可換環上の有限生成自由加群は、直和に関して加法的である明確に定義された自然数を次元として持ち、同じ次元を持つ場合に限り同型であることを思い出してください。^{[ 7 ]}

これは一部の非可換環では偽であり、アイレンベルクの策略を用いて反例を以下のように構成することができる。${\displaystyle X}$アーベル群である。${\displaystyle X\cong X\oplus X}$（例えば、任意の非零アーベル群の無限個のコピーの直和）とし、${\displaystyle R}$自己準同型の環である${\displaystyle X}$左${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle R}$左に同型である${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle R\oplus R}$。

最後に興味深い例として、^{[ 8 ]}${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$何らかのグループが存在する場合、アイレンベルク詐欺はリングを構築するために使用できる${\displaystyle R}$群環が${\displaystyle R[A]}$そして${\displaystyle R[B]}$同型環である:${\displaystyle R}$無限に多くのコピーの制限された直積の群環である${\displaystyle A\times B}$。

シュレーダー・ベルンシュタインの定理の証明は、アイレンベルク・マズールの詐欺の先駆けと見なせるかもしれない。実際、その考え方は非常によく似ている。集合XからYへの単射とYからXへの単射が存在する場合、形式的には、ある集合AとBに対してX = Y + AおよびY = X + Bが成り立つ。ここで、+ は互いに素な和集合を意味し、= は 2 つの集合間に全単射が存在することを意味する。前者を後者で拡張すると、

X = X + A + B。

この全単射において、Z は、右辺のXの要素に対応する左辺の要素から構成されるものとする。この全単射は、次の全単射に展開される。

X = A + B + A + B + ⋯ + Z。

Y = B + Xの右辺をXに代入すると、全単射が得られる。

Y = B + A + B + A + ⋯ + Z。

隣接するペアB + Aを入れ替えると、

Y = A + B + A + B + ⋯ + Z。

Xの全単射とYの全単射の逆を合成すると、次のようになります。

X = Y。

この議論は、全単射A + B = B + AおよびA + ( B + C ) = ( A + B ) + Cと、無限個の互いに素な和集合の明確性に基づいていた。

• テレンス・タオによる、トポロジーにおけるマズールの詐欺に関する解説