離散一様分布

離散的な一様分布
確率質量関数 n = 5 ただし、n = b − a + 1
累積分布関数
表記法	${\displaystyle {\mathcal {U}}\{a,b\}}$ または ${\displaystyle \mathrm {unif} \{a,b\}}$
パラメータ	${\displaystyle a,b}$整数${\displaystyle b\geq a}$${\displaystyle n=b-a+1}$
サポート	$${\displaystyle k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}}$$
PMF	${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
中央値	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
モード	該当なし
分散	${\displaystyle {\frac {(b-a+1)^{2}-1}{12}}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
過剰尖度	${\displaystyle -{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}}$
エントロピ	${\displaystyle \ln(n)}$
MGF	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}}$
CF	${\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {z^{a}-z^{b+1}}{n(1-z)}}}$

確率論および統計学において、離散一様分布とは、ある有限個の整数n個の結果値がそれぞれ等しい確率で観測される対称的な確率分布である。つまり、 n個の結果値すべてが1/ nの確率で等しい。直感的に言えば、離散一様分布とは「既知の有限個の結果がすべて等しい確率で発生する」分布である。

離散一様分布の簡単な例として、公平な6面サイコロを投げる場合が挙げられます。出目は1、2、3、4、5、6の6通りで、サイコロを投げるたびにそれぞれの値が出る確率は1/6です。もし2つのサイコロを投げてその値を足し合わせた場合、それぞれの値が出る確率は等しくないため、2つのサイコロの出目の合計の分布は一様分布ではありません。

この6面サイコロの例のように、連続する整数の範囲で離散一様分布を考えるのが一般的ですが、任意の有限集合上で離散一様分布を定義することもできます。たとえば、6面サイコロの各面に数字ではなく抽象的な記号を付けることもできます。より単純な説明をすると、ランダム順列とは、与えられた集合の順列から一様にランダムに生成された順列であり、グラフの一様全域木とは、グラフの全全域木から一様確率で選択された全域木のことです。

離散一様分布自体はノンパラメトリックである。ただし、その可能な結果値が区間内の整数である場合は、${\textstyle [a,b]}$すると、aとbは分布のパラメータであり、${\textstyle n=b-a+1.}$これらの場合、任意のkに対して、離散一様分布の累積分布関数(CDF) は次のように表すことができます。

$${\displaystyle F(k;a,b)=\min \left(\max \left({\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}},0\right),1\right),}$$

または単に

$${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$$

配布のサポートについて${\textstyle k\in [a,b].}$

最大値を推定する問題${\displaystyle N}$整数区間上の離散一様分布${\displaystyle [1,N]}$k個の観測値のサンプルから推定する問題は、第二次世界大戦中に連合軍がドイツの戦車生産量を推定するためにこの最大推定問題を実際に適用したことから、一般にドイツ戦車問題として知られています。

分布の最大値に対する一様最小分散不偏推定量 (UMVU) は、標本最大値mと標本サイズkに関して次のように表されます^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1.}$$

これは、最大間隔推定の非常に単純なケースと見なすことができます。

^{これは[ 1 ]}の分散を持つ$${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(Nk)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ 小さなサンプルの場合 }}k\ll N}$$ つまり、標準偏差は約${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$サンプル間の母集団平均ギャップサイズ。

サンプル最大値${\displaystyle m}$それ自体は母集団の最大値の最尤推定量であるが、偏りがある。

離散的な一様分布から得られた標本が順番に番号付けされていなくても、識別可能または標識可能である場合は、標識再捕獲法を用いて個体群サイズを推定することができる。

一様分布するランダム順列の固定点の数の確率分布については、rencontres numbers を参照してください。

整数範囲における一様離散分布の族（境界値のいずれか一方または両方が不明）には、有限次元の十分統計量、すなわち標本最大値、標本最小値、標本サイズの3つ組が存在する。

有界な整数範囲における一様離散分布は、そのサポートがパラメータによって変化するため、指数分布族を構成しない。

分布のサポートがパラメータに依存しない分布族については、ピットマン・クープマン・ダルモワの定理によれば、標本サイズが増加するにつれて次元が制限される十分統計量を持つのは指数分布族のみである。したがって、一様分布はこの定理の条件の必要性を示す簡単な例となる。

• ディラックのデルタ分布
• 連続一様分布