孤立した点

以下の３つの例における位相空間は、標準的な位相を持つ実数直線の部分空間として考えられます。

• セットの場合${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2],}$点0は孤立点である。
• セットの場合${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \},}$各ポイント${\displaystyle {\tfrac {1}{k}}}$は孤立点ですが、 0は孤立点ではありません。なぜなら、 Sには0に十分近い。
• セット${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$自然数の集合は離散的な集合である。

位相空間において${\displaystyle X=\{a,b\}}$トポロジー付き${\displaystyle \tau =\{\emptyset ,\{a\},X\},}$要素aは孤立点であるが、${\displaystyle b}$閉鎖に属する${\displaystyle \{a\}}$（したがって、ある意味では に「近い」）。このような状況はハウスドルフ空間では起こり得ない。

モースの補題は、特定の関数の非退化臨界点が孤立していることを述べている。

実数区間(0,1)内の点xの集合Fを考えます。ただし、その2進数表現の各桁x _iは次の条件を満たします。

• どちらか${\displaystyle x_{i}=0}$または${\displaystyle x_{i}=1.}$
• ${\displaystyle x_{i}=1}$有限個のインデックスiに対してのみ。
• m が最大のインデックスを表す場合、${\displaystyle x_{m}=1,}$それから${\displaystyle x_{m-1}=0.}$
• もし${\displaystyle x_{i}=1}$そして${\displaystyle i<m,}$その場合、以下の2つの条件のうち、ちょうど1つが成り立つ。${\displaystyle x_{i-1}=1}$または${\displaystyle x_{i+1}=1.}$

非公式には、これらの条件は、バイナリ表現の各桁が${\displaystyle x}$1 に等しいものは、最後の ...010... を除いて、ペア ...0110... に属します。

さて、Fは孤立点のみからなる明示的な集合ですが、その閉包が非可算集合であるという直感に反する性質を持っています。^{[ 1 ]}

同じ性質を持つ別の集合Fは次のようにして得られます。Cをカントールの中間三分の一集合とし、${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots ,I_{k},\ldots }$構成要素の間隔は${\displaystyle [0,1]-C}$そして、F を各I _kから 1 つの点からなる集合とする。各I _kはFから 1 つの点しか含まないので、Fのすべての点は孤立点である。しかし、pがカントール集合内の任意の点である場合、pのすべての近傍には少なくとも 1 つのI _kが含まれるため、 Fの少なくとも 1 つの点が含まれる。したがって、カントール集合の各点はFの閉包に含まれるため、F は非可算閉包を持つ。