違いの差

差分の差分( DID ^{[ 1 ]}またはDD ^{[ 2 ]} ) は、計量経済学や社会科学の定量的研究で使用される準実験的統計手法であり、自然実験で「治療群」と「対照群」に対する治療の異なる効果を研究することにより、観察研究データを使用して実験的研究デザインを模倣しようとします。^{[ 3 ]}これは、治療群の結果変数の時間の経過に伴う平均変化を対照群の時間の経過に伴う平均変化と比較することにより、治療 (すなわち、説明変数または独立変数)が結果 (すなわち、応答変数または従属変数) に及ぼす影響を計算します。治療群の選択方法によっては、この方法は依然として特定のバイアス (例えば、平均回帰、逆因果関係、省略変数バイアス)の影響を受ける可能性があります。

被験者に対する治療効果の時系列推定（時間の経過に伴う変化を分析する）や治療効果の横断的推定（治療群と対照群の差を測定する）とは対照的に、差分の差分法はパネルデータを用いて、治療群と対照群の間で、時間の経過とともに生じる結果変数の変化の差を測定する。

差分の差分法では、治療群と対照群から2つ以上の異なる時点、具体的には「治療」前の少なくとも1つの時点と「治療」後の少なくとも1つの時点において測定されたデータが必要です。図示された例では、治療群の結果は線Pで表され、対照群の結果は線Sで表されます。両群の結果（従属）変数は 、どちらの群も治療（つまり、独立変数または説明変数）を受ける前の時点1で測定され、点_P1とS1で表され_ます。治療群はその後治療を受け、両群は時間2 で再び測定されます。治療群と対照群は時間 1 で同じ地点から始まったわけではないため、時間2 における治療群と対照群の差 (つまり、P ₂とS ₂の差) のすべてが治療の効果として説明できるわけではありません。したがって、DID は、2 つのグループ間の結果変数の「正常な」差 (どちらのグループも治療を受けなかった場合でも存在する差) を計算し、点線Qで表します。( P _1からQへの傾きはS _1からS ₂への傾きと同じであることに注意してください。) 治療効果は、観測された結果 ( P ₂ ) と「正常な」結果 ( P ₂とQの差) の差です。   

モデルを考えてみましょう

${\displaystyle y_{it}~=~\gamma _{s(i)}+\lambda _{t}+\delta I(\dots )+\varepsilon _{it}}$

どこ$\displaystyle y_{it}}$は個々の従属変数である${\displaystyle i}$そして時間${\displaystyle t}$、${\displaystyle s(i)}$は、${\displaystyle i}$所属する（つまり、治療群または対照群）、そして${\displaystyle I(\dots )}$は、イベントが発生したときにダミー変数が1 になることを示す略記法です。${\displaystyle (\dots )}$が真の場合、それ以外の場合は 0 となります。${\displaystyle Y}$グループ別$\displaystyle \gamma _{s}}$はグラフの縦軸切片です。${\displaystyle s}$、 そして$\displaystyle \lambda _{t}}$これは、平行トレンド仮定に基づくと、両グループに共通する時間的傾向です（下記の仮定を参照）。${\displaystyle \delta }$治療効果は、${\displaystyle \varepsilon _{it}}$は残差項です。

グループ別および時間別の従属変数とダミー指標の平均値を検討してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{s}&={\text{ グループ }}s 内の個体数\\{\overline {y}}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}y_{it}\ I(s(i)~=~s),\\{\overline {\gamma }}_{s}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{s(i)}\ I(s(i)~=~s)~=~\gamma _{s},\\{\overline {\lambda }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{t}\ I(s(i)~=~s)~=~\lambda _{t},\\{\overline {I}}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}I(s(i)~=~{\text{ treatment, }}t{\text{ in after period}})\ I(s(i)~=~s)~=~I(s~=~{\text{ treatment, }}t{\text{ in after period}})~=~D_{st},\\{\overline {\varepsilon }}_{st}&={\frac {1}{n_{s}}}\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{it}\ I(s(i)~=~s),\end{aligned}}}$

そして、簡単のために次のように仮定します。${\displaystyle s=1,2}$そして${\displaystyle t=1,2}$。 ご了承ください${\displaystyle D_{st}}$ランダムではなく、グループと期間のラベル付け方法をエンコードしているだけです。

${\displaystyle {\begin{aligned}&({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\\[6pt]={}&{\big [}(\gamma _{1}+\lambda _{1}+\delta D_{11}+{\overline {\varepsilon }}_{11})-(\gamma _{1}+\lambda _{2}+\delta D_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{12}){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}(\gamma _{2}+\lambda _{1}+\delta D_{21}+{\overline {\varepsilon }}_{21})-(\gamma _{2}+\lambda _{2}+\delta D_{22}+{\overline {\varepsilon }}_{22}){\big ]}\\[6pt]={}&\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21})+{\overline {\varepsilon }}_{11}-{\overline {\varepsilon }}_{12}+{\overline {\varepsilon }}_{22}-{\overline {\varepsilon }}_{21}.\end{aligned}}}$

厳密な外生性仮定は、次のことを意味する。

${\displaystyle \operatorname {E} \left[({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22})\right]~=~\delta (D_{11}-D_{12})+\delta (D_{22}-D_{21}).}$

一般性を失うことなく、${\displaystyle s=2}$は治療群であり、${\displaystyle t=2}$後期間の場合、${\displaystyle D_{22}=1}$そして${\displaystyle D_{11}=D_{12}=D_{21}=0}$DID推定量を与える

${\displaystyle {\hat {\delta }}~=~({\overline {y}}_{11}-{\overline {y}}_{12})-({\overline {y}}_{21}-{\overline {y}}_{22}),}$

これは、治療の効果として解釈できます。${\displaystyle D_{st}}$以下に、この推定量が通常の最小二乗回帰における係数としてどのように読み取れるかを示します。このセクションで説明するモデルは過剰パラメータ化されています。これを修正するために、ダミー変数の係数の1つを0に設定できます。たとえば、次のように設定できます。${\displaystyle \gamma _{1}=0}$。

DIDはOLSの特殊なバージョンであるため、 OLSモデルのガウス・マルコフ仮定はすべてDIDにも同様に適用されます。さらに、DIDは平行トレンド仮定を必要とします。平行トレンド仮定とは、${\displaystyle \lambda _{2}-\lambda _{1}}$両方とも同じです${\displaystyle s=1}$そして${\displaystyle s=2}$上記の形式的な定義が現実を正確に表していることを考えると、この仮定は自動的に成り立ちます。しかし、${\displaystyle \lambda _{st}:\lambda _{22}-\lambda _{21}\neq \lambda _{12}-\lambda _{11}}$の方がより現実的かもしれません。並行トレンド仮定が成り立つ可能性を高めるために、差分の差分法はマッチングと組み合わされることがよくあります。^{[ 4 ]}これは、既知の「治療」ユニットを、治療を受けなかった特性的に同等のユニットであるシミュレーションされた反事実の「対照」ユニットと「マッチング」することを含みます。結果変数を時間的差（治療前期間と治療後期間の間の観察された結果の変化）として定義し、類似した治療前履歴に基づいて大規模サンプル内の複数のユニットをマッチングすることにより、結果として得られるATE（つまりATT：治療を受けた人の平均治療効果）は、治療効果の頑健な差分の差分推定値を提供します。これは2つの統計的目的を果たします。1つ目は、治療前の共変量を条件として、並行トレンド仮定が成り立つ可能性が高いこと、2つ目は、このアプローチにより、妥当な推論に必要な関連する無視可能性仮定への依存が軽減されることです。

図に示すように、治療効果とは、yの観測値と、治療が行われなかった場合に並行傾向があったと仮定した場合のyの値との差です。しかし、DIDの欠点は、治療と同時に一方のグループでは治療以外の何かが変化し、もう一方のグループでは変化しない場合、並行傾向の仮定が破られることです。

DID推定の精度を保証するために、2つのグループの個体の構成は時間の経過とともに変化しないと仮定します。DIDモデルを使用する場合、自己相関^{[ 2 ]}やアシェンフェルターディップなど、結果を損なう可能性のあるさまざまな問題を考慮して対処する必要があります。

DID法は、以下の表に従って実装できます。右下のセルはDID推定量です。

回帰分析を実行しても同じ結果が得られます。OLSモデルを考えてみましょう。

${\displaystyle y~=~\beta _{0}+\beta _{1}T+\beta _{2}S+\beta _{3}(T\cdot S)+\varepsilon }$

どこ${\displaystyle T}$は期間を表すダミー変数で、${\displaystyle 1}$いつ${\displaystyle t=2}$、 そして${\displaystyle S}$はグループメンバーシップのダミー変数で、${\displaystyle 1}$いつ${\displaystyle s=2}$複合変数${\displaystyle (T\cdot S)}$は、${\displaystyle S=T=1}$ここでは厳密には示されていませんが、これはモデルの正式な定義の適切なパラメータ化であり、さらに、そのセクションのグループ平均と期間平均は、モデルパラメータ推定値と次のように関連していることがわかります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\beta }}_{0}&={\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{1}&={\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{2}&={\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=1)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0)\\[8pt]{\hat {\beta }}_{3}&={\big [}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=1)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=1){\big ]}\\&\qquad {}-{\big [}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)-{\widehat {E}}(y\mid T=0,~S=0){\big ]},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle {\widehat {E}}(\dots \mid \dots )}$は、サンプルに基づいて計算された条件付き平均を表します。たとえば、${\displaystyle T=1}$は期間後の指標です。${\displaystyle S=0}$は対照群の指標です。${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$これは、対照群の影響ではなく、反事実の推定値です。対照群は、反事実の代理としてよく使用されます（この点についてより深く理解するには、合成コントロール法を参照してください）。したがって、${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$これは、対照群と介入（治療）の反事実の両方の影響として解釈できます。同様に、${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$平行トレンド仮定により、治療群と対照群の間の差も、${\displaystyle T=1}$上記の記述は、対照群のみの（平均的な）効果を意味するものと解釈されるべきではない。${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$または、前期間における治療群と対照群の差のみ、${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$CardとKruegerの論文（下記参照）と同様に、結果変数の1次（時間）差分${\displaystyle (\Delta Y_{i}=Y_{i,1}-Y_{i,0})}$時間的傾向（つまり、${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$）偏りのない推定値を形成する${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}}$つまり、${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}}$実際には治療群または対照群に依存しない。^{[ 5 ]}一貫して、治療群と対照群の間に差があれば、治療差（つまり、${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}}$）偏りのない推定値を形成する${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}}$このニュアンスは、ユーザーが（弱い）並行事前トレンド違反が存在すると考える場合、または非共通ショックや交絡事象の存在を前提とした適切な反事実近似仮定の違反の場合に理解することが重要です。この表記と前のセクションの関係を確認するには、上記のように各グループにつき期間ごとに1つの観測値のみを考慮し、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {E}}(y\mid T=1,~S=0)&={\widehat {E}}(y\mid {\text{ after period, control}})\\[3pt]\\&={\frac {{\widehat {E}}(y\ I({\text{ after period, control}}))}{{\widehat {P}}({\text{ after period, control}})}}\\[3pt]\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i,{\text{after}}}I(i{\text{ in control}})}{n_{\text{control}}}}={\overline {y}}_{\text{control, after}}\\[3pt]\\&={\overline {y}}_{\text{12}}\end{aligned}}}$

他の値についても同様です。${\displaystyle T}$そして${\displaystyle S}$これは、

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{3}~=~(y_{11}-y_{21})-(y_{12}-y_{22}).}$

しかし、これは正式な定義および上記の表で示された治療効果の表現です。

差分の差分フレームワークのバリエーションには、治療の段階的実施のためのものや、複数の期間に対して導入された推定量、およびブラントリー・キャラウェイとペドロ・HC・サンタナによるその他のバリエーションが含まれる。^{[ 6 ]}

1994 年に発表された、ニュージャージー州の最低賃金に関するCardとKrueger の論文^{[ 5 ]}は、最も有名な DID 研究の 1 つです。Card は後に、この研究および関連する研究の一部で、2021 年のノーベル経済学賞を受賞しました。Card と Krueger は、1992年4 月にニュージャージー州の最低賃金が4.25 ドルから 5.05 ドルに引き上げられた後、1992 年 2 月と 1992 年 11 月のニュージャージー州とペンシルベニア州のファストフード部門の雇用を比較しました。処置の前後でニュージャージー州のみの雇用の変化を観察すると、地域の天候やマクロ経済状況などの省略変数を制御できなくなります。差分の差分モデルにペンシルベニア州を制御として含めることで、ニュージャージー州とペンシルベニア州に共通する変数によって引き起こされるバイアスは、これらの変数が観察されない場合でも暗黙のうちに制御されます。ニュージャージー州とペンシルベニア州が時間の経過とともに同様の傾向を示していると仮定すると、ペンシルベニア州の雇用の変化は、ニュージャージー州が最低賃金を引き上げなかった場合に経験したであろう変化として解釈でき、その逆もまた然りです。証拠は、一部の経済理論が示唆するのとは異なり、最低賃金の引き上げがニュージャージー州の雇用の減少を誘発しなかったことを示唆しています。以下の表は、FTE（フルタイム換算）で測定された雇用に対する処置効果に関するCard & Kruegerの推定値を示しています。CardとKruegerは、ニュージャージー州の最低賃金が0.80ドル引き上げられたことにより、店舗あたり平均2.75 FTEの雇用増加につながったと推定しています。

この研究のソフトウェア応用例は、Stataのコマンド-diff- ^{[ 7 ]にあります。}

差分の差分（DID）フレームワークは、労働経済学や最低賃金研究以外にも広く応用されています。公衆衛生分野では、DIDは、政策実施前後の地域を比較することで、新しい医療ガイドラインやワクチン接種キャンペーンの効果を評価するために使用されています。^{[ 8 ]}教育分野 では、DID法は、学校予算やクラス規模の変更などの改革の影響を測定するのに役立ちます。環境経済学では、汚染、エネルギー消費、または気候政策に関する規制を評価するために使用されています。これらの応用は、並行トレンドという重要な仮定に依存していますが、慎重に設計すれば、政策立案者に観察データを使用した確固たる因果関係の推定値を提供します。

• 実験計画法
• 平均治療効果
• 合成制御法

• アングリスト、JD、ピシュケ、JS（2008）。『ほとんど無害な計量経済学：実証主義者のための手引き』プリンストン大学出版局、227～ 243頁。ISBN  978-0-691-12034-8。
• Andrew Baker、Brantly Callaway、Scott Cunningham、Andrew Goodman-Bacon、Pedro HC Sant'Anna。2025年。「差分の差分デザイン：実務者のためのガイド」 。Journal of Economic Literature。
• キャメロン、アーサー・C.、トリヴェディ、プラヴィン・K. (2005).ミクロ計量経済学：方法と応用. ケンブリッジ大学出版局. pp. 768–772 . doi : 10.1017/CBO9780511811241 . ISBN  9780521848053. S2CID 120313863 . 
• Imbens, Guido W.; Wooldridge, Jeffrey M. (2009). "プログラム評価の計量経済学における最近の発展" . Journal of Economic Literature . 47 (1): 5– 86. doi : 10.1257/jel.47.1.5 .
• Bakija, Jon; Heim, Bradley (2008 年 8 月) 「慈善寄付はインセンティブと所得にどのように反応するか？税制の予測可能な変化を考慮した動的パネル推定」 NBERワーキングペーパー No. 14237 . doi : 10.3386/w14237 .
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• 差分の差分推定、ヘルスケアエコノミストウェブサイト