記述幾何学

記述幾何学は、特定の手順を使用して3次元のオブジェクトを2次元で表現できる幾何学の分野です。その結果得られる技術は、工学、建築、デザイン、芸術において重要です。^{[1]記述幾何学の理論的基礎は}、平面幾何学投影 によって提供されます。この技術に関する最も古い出版物は、1525年にニュルンベルクのリーニエンでアルブレヒト・デューラーによって出版された「コンパスと水準器による測定の観察」です。イタリアの建築家グアリーノ・グアリーニもまた射影幾何学と記述幾何学の先駆者であり、そのことは彼の 著書『哲学の原理』（1665年）、『アダクトゥス・エウクリデス』（1671年）、『土木建築』（1686年、1737年まで出版されなかった）からも明らかで、記述幾何学の発明者とされるガスパール・モンジュ（1746年 - 1818年）の業績を先取りしていた。 ^{[2] [3]}ガスパール・モンジュは幾何学的問題解決の発展により「記述幾何学の父」とみなされることが多い。彼の最初の発見は1765年、軍事要塞の製図工として働いていたときに行われたが、その発見は後になって出版された。^[4]

Monge のプロトコルにより、想像上の物体を 3 次元でモデル化できるような方法で描画できます。想像上の物体のすべての幾何学的側面は、実際のサイズ/スケールと形状で考慮され、空間内の任意の位置から見たように画像化できます。すべての画像は 2 次元の表面に表されます。

記述幾何学では、想像上の物体から発せられ、想像上の投影面と直角に交差する想像上の平行投影機の画像作成技術を使用します。交差点の累積により、目的の画像が作成されます。

• オブジェクトの 2 つの画像を、互いに垂直な任意の方向に投影します。各画像ビューは 3 次元の空間に対応し、2 つの次元はフルスケールの相互に垂直な軸として表示され、もう 1 つの次元は画像空間 (深度) に後退する目に見えない (ポイント ビュー) 軸として表示されます。隣接する 2 つの画像ビューはそれぞれ、3 次元の空間の 1 つのフルスケール ビューを共有します。
• これらの画像のいずれかが、3 番目の投影ビューの開始点として機能します。3 番目のビューは 4 番目の投影を開始し、無限に続きます。これらの連続した投影はそれぞれ、オブジェクトを別の方向から見るために、空間内で 90 度回り込む遠回りを表しています。
• 新しい投影はそれぞれ、前のビューでポイント ビュー ディメンションとして表示されるディメンションをフル スケールで使用します。このディメンションのフル スケール ビューを実現し、新しいビュー内に収めるには、前のビューを無視し、このディメンションがフル スケールで表示される 2 つ前のビューに進む必要があります。
• 新しいビューはそれぞれ、前の投影方向に対して垂直な、無数の方向のいずれかに投影することによって作成できます。(車軸の方向に対して垂直な、ワゴンの車輪のスポークの多くの方向を想像してください。) 結果は、オブジェクトの周りを 90 度回転して回り、各ステップからオブジェクトを表示することと同じです。新しいビューはそれぞれ、正投影レイアウト表示への追加ビューとして追加され、「ガラス ボックス モデルの展開」に表示されます。

正投影図の 6 つの標準的な主要ビュー (正面、右側面、左側面、上面、底面、背面) の他に、記述幾何学では、線の真の長さ(つまり、フル サイズ、短縮されていない)、線のポイント ビュー (端面図)、平面の真の形状 (つまり、縮尺どおりのフル サイズ、または短縮されていない)、および平面のエッジ ビュー (つまり、平面の真の形状を生成する視線に関連付けられた視線に対して視線が垂直な平面のビュー) という 4 つの基本的なソリューション ビューを作成しようとします。これらは、多くの場合、後続のビューの投影方向を決定するために使用されます。90° の遠回りのステップ プロセスによって、線のポイント ビューから任意の方向に投影すると、その真の長さのビューが生成されます。真の長さの線のビューに平行な方向に投影すると、そのポイント ビューが生成されます。任意の線のポイント ビューを平面に投影すると、平面のエッジ ビューが生成されます。平面のエッジ ビューに垂直な方向に投影すると、真の形状 (縮尺どおり) のビューが生成されます。これらのさまざまな視点は、立体幾何学の原理によってもたらされる工学的問題を解決するために役立つ可能性がある。

記述幾何学を学ぶことには、経験的な価値があります。視覚化と空間分析能力、そして幾何学的問題を解くための最適な提示方法を認識するための視線の方向を直感的に認識する能力を促進します。代表的な例:

• 2 本の斜めの線(パイプなど) を一般的な位置に配置して、それらの最短コネクタ (共通の垂線) の位置を決定します。
• 2本の斜めのライン（パイプ）は、最短のコネクタがフルスケールで見えるように一般的な位置に配置されます。
• 与えられた平面に平行な最短コネクタがフルスケールで表示されるような一般的な位置にある2本の斜線（例えば、放射面から一定の距離にある最短コネクタの位置と寸法を決定するため）
• 垂直に開けられた穴が、穴を通して見ているかのように、フルスケールで見える平面表面（例えば、他のドリル穴とのクリアランスをテストするため）
• 一般的な位置にある 2 つの斜線から等距離にある平面 (安全な放射距離を確認するためなど)
• 点から平面までの最短距離（例えば、支柱を最も経済的に設置する位置を見つけるなど）
• 曲面を含む 2 つのサーフェス間の交差線 (たとえば、セクションの最も経済的なサイズ設定など)
• 2つの平面間の角度の実際の大きさ

正投影の連続投影に類似したコンピュータ モデリング ビューを表示するための標準はまだ採用されていません。その 1 つの候補を以下の図に示します。図のイメージは、3 次元のエンジニアリング コンピュータ グラフィックスを使用して作成されました。

3 次元のコンピュータ モデリングは、いわば「チューブの後ろ」に仮想空間を作成し、この仮想空間内の任意の方向からモデルの任意のビューを作成できます。隣接する正投影ビューを必要とせずにこれを実行するため、記述幾何学の回りくどいステップ プロトコルは時代遅れになるように見えるかもしれません。ただし、記述幾何学は平面上の 3次元以上の空間を正当または許容される方法でイメージ化する科学であるため、コンピュータ モデリングの可能性を高めるために不可欠な研究です。

P、R、S、U の X、Y、Z 座標が与えられ、投影 1 と 2 がそれぞれ XY 平面と XZ 平面にスケールに合わせて描画されます。

この例では、線分の SU の真のビュー (投影の長さは 3D 空間の長さに等しい) を取得するには、ヒンジ ライン H _{2,3を S 2} U ₂に平行にして投影 3 を描きます。SU の端面ビューを取得するには、ヒンジ ライン H _3,4をS ₃ U ₃に垂直にして投影 4 を描きます。垂直距離d は、 PR と SU 間の最短距離を示します。

これらの線上に最短距離を与える点 Q と T を取得するには、ヒンジ ライン H _{4,5 を}P ₄ R ₄に平行にして投影 5 を描き、 P ₅ R ₅と S ₅ U ₅の両方を真のビューにします (端面図の投影はすべて真のビューです)。これらの線 Q ₅と T ₅の交点を投影 1 (マゼンタの線とラベル) に戻すと、X、Y、Z 軸から座標を読み取ることができます。

一般解は、記述幾何学における解のクラスであり、問​​題に対するすべての可能な解を含みます。一般解は、単一の 3 次元オブジェクト (通常は円錐) で表され、その要素の方向は、無限の数の解ビューのいずれかに対する目的の表示方向 (投影方向) になります。

たとえば、長さが等しくなく、一般的な位置にある斜めの線 (飛行中のロケットなど) が 2 本現れるような一般的な解を見つけるには、次のようにします。

• 等長
• 等長かつ平行
• 等長かつ垂直（少なくとも1つの理想的なターゲットの場合）
• 指定された比率の長さに等しい
• その他。

例では、各望ましい特性ソリューションの一般的なソリューションは円錐であり、その各要素は無限の数のソリューション ビューの 1 つを生成します。たとえば、上記にリストされている特性のうち 2 つ以上の特性が望ましい場合 (およびソリューションが存在する場合)、2 つの円錐間の交差の 2 つの要素 (円錐が接線の場合は 1 つの要素) のいずれかの方向に投影すると、望ましいソリューション ビューが生成されます。円錐が交差しない場合は、ソリューションは存在しません。以下の例には、ソリューションで使用される説明的な幾何学的原理を示す注釈が付けられています。TL = 真の長さ、EV = エッジ ビュー。

以下の図1～3は、（1）記述幾何学、一般的なソリューション、および（2）同時に、そのようなソリューションを正投影、マルチビュー、レイアウト形式で提示するための潜在的な標準を示しています。

潜在的な標準では、標準の「折り線」を間に挟んだ 2 つの隣接する標準の正投影ビュー (ここでは、正面と上面) を使用します。ソリューション ビューに到達するために、標準的な 2 ステップ シーケンスでオブジェクトの周りを 90° 回り込む必要がないため (ソリューション ビューに直接移動できます)、この短いプロトコルがレイアウトで考慮されます。1 ステップ プロトコルが 2 ステップ プロトコルに置き換わる場合は、「二重折り」線が使用されます。つまり、二重線を横切るときに、回りくどい 90° ターンを行うのではなく、ソリューション ビューに直接非直交方向のターンを行うことになります。ほとんどのエンジニアリング コンピュータ グラフィックス パッケージは、ガラス ボックス モデルの 6 つの主要なビューとアイソメトリック ビューを自動的に生成するため、ヒューリスティックな好奇心からこれらのビューが追加されることがあります。

図1: 記述的幾何学 - 斜めの線が垂直に見える

図2: 記述的幾何学 - 斜めの線は等しい長さに見える

図3: 記述的幾何学 - 指定された長さの比率で斜めの線が表示される

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