顕示選好

予算が設定された場合${\displaystyle B}$2つの財について定義される。${\displaystyle X,Y}$価格によって決定される${\displaystyle p,q}$収入${\displaystyle m}$束aを${\displaystyle (x_{1},y_{1})\in B}$そして束bは${\displaystyle (x_{2},y_{2})\in B}$この状況は通常、不等式で算術的に表されます。${\displaystyle pX+qY\leq m}$そして、グラフ上では正の実数における予算線によって表されます。強い単調な選好を仮定すると、グラフ上で予算線上に位置するバンドル、つまり、${\displaystyle px_{1}+qy_{1}=m}$そして${\displaystyle px_{2}+qy_{2}=m}$満足している、考慮する必要がある。この状況で、${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$より選ばれる${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$結論として、${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$（直接）明らかにされる${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$これは、二項関係として要約できる。${\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}$または同等に${\displaystyle \mathbf {a} \succeq \mathbf {b} }$[ ^{3 ]​}

弱選好公理（WARP）は、消費者が選好と一貫していることを保証するために満たさなければならない基準の1つです。財の組み合わせaとbの両方が購入可能な場合、消費者はaをbよりも好むことを明らかにします。WARPは、選好が同じままであれば、消費者がbをaよりも好むような状況（予算セット）は存在しないと述べています。両方の組み合わせが購入可能な場合にaをbよりも選択することで、消費者は、価格が変動しても、両方とも購入可能な場合にはbをaよりも選択しないという選好を明らかにします。正式には次のようになります。

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in B\\\mathbf {a} \in C(B,\succeq )\\\mathbf {b} \in B'\\\mathbf {b} \in C(B',\succeq )\end{matrix}}\right\}~\Rightarrow ~\mathbf {a} \notin B'}$

どこ${\displaystyle \mathbf {a} }$そして${\displaystyle \mathbf {b} }$は任意の束であり、${\displaystyle C(B,\succeq )\subset B}$予算セットで選択されたバンドルのセット${\displaystyle B}$選好関係が与えられた場合${\displaystyle \succeq }$。

言い換えれば、予算セットでbよりもaが選ばれる場合${\displaystyle B}$aとbはどちらも実行可能な組み合わせであるが、消費者が他の予算制約に直面している場合はbが選択される。${\displaystyle B'}$ならば、aは予算集合において実行可能なバンドルではない。${\displaystyle B'}$。

強い顕示選好公理（SARP）は、WARPと同等ですが、選択肢AとBが同時に直接的にも間接的にも互いに好ましいと顕示されないという点が異なります。ここで、AがBに対して間接的に好ましいと顕示されるのは、Cが存在し、AがCに対して直接的に好ましいと顕示され、かつCがBに対して直接的に好ましいと顕示される場合です。数学的に言えば、これは推移性が保たれることを意味します。推移性は、予算制約から得られる2つの異なる選択肢を比較することで追加情報を明らかにできるため有用です。

経済モデルでは、例えば効用関数（実数値の出力を持ち、推移的である）を用いて選択をモデル化する場合など、このような「ループ」の発生を防ぐことが望ましい場合が多い。そのための方法の一つは、価格や購買力の制約を一切考慮せずに、選択肢全体に関して顕示選好関係に完全性を課すことである。これは、{A,B,C}を単独の選択肢として評価する場合、どれが好ましいか、あるいはどれとどちらが同等かが直接的に明らかになるため有用である。弱い公理を用いることで、2つの選択肢が同時に互いに好ましいとされることを防ぎ、「ループ」が発生することを不可能にする。

この問題を解決するもう一つの方法は、推移性を保証するSARPを課すことです。これは、直接的な顕示選好の推移閉包を取り、それが反対称であることを要求することによって特徴付けられます。つまり、AがBよりも（直接的または間接的に）顕示選好されている場合、BはAよりも（直接的または間接的に）顕示選好されていないということです。

これらは問題を解決するための2つの異なるアプローチです。完全性は選択関数の入力（ドメイン）に関係するのに対し、強い公理は出力に条件を課します。

一般化顕示選好公理（GARP）は、SARPを一般化したものである。これは、消費者の選好が変化しないことを保証するために、恒常性が満たされるために必要な最終的な基準である。

この公理は、価格水準が一定であるという条件の下で、2つ以上の消費バンドルが同等の効用水準を満たす状況を説明するものです。これは、複数の消費バンドルによって効用最大化が達成される状況を網羅しています。^{[ 4 ]}

データセットがGARPを満たすのは、${\displaystyle x^{i}Rx^{j}}$意味しない${\displaystyle x^{j}P^{0}x^{i}}$[ ^{5 ]これは、}消費バンドルが${\displaystyle x^{i}}$明らかに好まれる${\displaystyle x^{j}}$バンドルを入手するために必要な支出${\displaystyle x^{j}}$価格が一定であると仮定すると、バンドルを入手するために必要な支出を超えることはない${\displaystyle x^{i}}$[ ^{6 ]​}

GARPを満たすためには、データセットは選好サイクルを確立してはなりません。したがって、バンドル{A,B,C}を考慮すると、明らかになった選好バンドルは次のような非巡回順序対でなければなりません。${\displaystyle A\succeq B}$そして${\displaystyle B\succeq C}$、 それから${\displaystyle B\nsucceq A}$そして${\displaystyle A\succeq C}$これにより、推移性を維持しながら「選好サイクル」を排除することができる。^{[ 4 ]}

GARPはSARPと密接に関連しているため、SARPの各条件がGARPを暗示することは非常に容易ですが、GARPはSARPを暗示しません。これは、GARPが多値需要関数と互換性があるのに対し、SARPは単値需要関数とのみ互換性があるという条件の結果です。このように、Hal R Varian (1982) が述べたように、GARPは無差別曲線内に平坦な部分を設けることができます。^{[ 5 ]}

1967 年に経済学者のシドニー・アフリアットによって提唱されたアフリアットの定理は、観測された選択の有限データセットが効用関数によって説明できることを証明することで GARP を拡張しています。^{[ 7 ]}具体的には、価格ベクトルp _iと数量ベクトルx _i ( i = 1, 2, ..., n ) の集合が GARP を満たすのは、各x _{i が}予算制約p _i · x ≤ p _i · x iの下で u (x) を最大化するような連続的で増加かつ凹型の効用関数 u( x) が存在する場合に_限ると述べています。^{[ 8 ]}

この定理は実用的なテストを提供します。GARP が成り立つ場合、すべてのi、jに対して不等式u _i - u _j ≤ λ _j ( p _j · ( x _i - x _{j )) を満たす効用レベル}u _iと正の重みλ _{i が}存在します。^{[ 7 ]}これらのAfriat の不等式は、無限データセットに対してのみ存在を証明する SARP のような以前の公理とは異なり、データから直接効用関数を構築できます。^{[ 9 ]}例えば、2 つのバンドルが両方とも同じ予算で効用を最大化する場合 (GARP の図のように)、SARP が失敗する場合でも、Afriat の定理は効用関数が存在することを保証します。^{[ 8 ]}この結果は、合理性をテストし、経験的データから選好を構築するために計量経済学で広く使用されています。^{[ 10 ]}