故障率

故障率とは、システムまたはコンポーネントが故障する頻度であり、単位時間あたりの故障数で表されます。したがって、故障率はシステムの状態、時間間隔、および調査対象のシステムの総数によって異なります。 ^[1]システムおよび信頼性工学、医学および生物学、保険および金融 などの分野で、電子システム、機械システム、または生物学的システムを説明することができます。通常はギリシャ文字 （ラムダ）で表されます。 ${\displaystyle \lambda}$

実際のアプリケーションでは、システムの故障確率は通常、時間の経過とともに変化します。故障は、使用初期（「バーンイン」）またはシステムの経年劣化（「摩耗」 ）でより頻繁に発生します。これはバスタブ曲線として知られており、中間領域は「耐用年数期間」と呼ばれます。

「2,000 時間」などの数字は「1 時間あたり 0.0005」などの数字よりも直感的にわかりやすいため、故障率の代わりに平均故障間隔 (MTBF) が報告されることがよく あります。${\displaystyle 1/\lambda }$

ただし、これは、バスタブ曲線の平坦な領域内など、故障率が時間経過に伴って実際に一定である場合にのみ有効です。多くの場合、MTBF は、この領域のみを参照します。したがって、MTBF は「バーンイン」領域と「摩耗」領域を無視するため、システムの平均寿命を正確に計算するために使用することはできません。 ${\displaystyle \lambda (t)}$

MTBF はエンジニアリング設計要件に頻繁に登場し、必要なシステム保守と検査の頻度を決定します。輸送業界、特に鉄道やトラック輸送で使用される同様の比率は「平均故障間隔」であり、これにより、定期的な時間間隔ではなく移動距離に基づいて保守をスケジュールできます。

故障率の最も単純な定義は、単に時間間隔あたりの故障数です。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \Delta n}$${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\Delta n}{\Delta t}}}$

これは、研究対象となるシステムの数と、期間中の状況によって異なります。

時間の経過に伴う故障を正確にモデル化するには、累積故障分布を定義する必要があります。これは、からまで徐々に増加する任意の累積分布関数(CDF) にすることができます。多数の同一システムの場合、これは、すべてのシステムが に動作を開始した後、時間の経過と共に故障するシステムの割合と考えることができます。または、単一のシステムの場合は、システムがの時刻より前に故障する確率と考えることができます。 ${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle F(t)=\operatorname {P} (T\leq t).}$

CDF は確率密度関数を積分することによって定義されるため、故障確率密度は 次のように定義されます。 ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \!}$

ここで、はダミーの積分変数です。ここでは、は瞬間故障率、つまり単位時間あたりの故障の割合と考えることができます。時間間隔のサイズはに近づく傾向があります。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle 0}$

瞬間故障率と密接に関連しているが異なる概念^[2]として、ハザード率（または${\displaystyle f(t)}$ハザード関数)。 ${\displaystyle h(t)}$

システムが多数ある場合、これは、時点においてまだ機能しているシステムの故障率の比率として定義されます（ は、初期のシステム数に対する比率として表される とは異なります）。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle f(t)}$

便宜上、まず信頼性（または生存関数）を次のように定義します。

${\displaystyle R(t)=1-F(t)}$

ハザード率は、単に瞬間的な故障率であり、時間における生存システムの割合でスケール化されます。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}}$

確率論的な意味では、単一のシステムの場合、システムまたはコンポーネントがすでに時間 まで存続していることを前提として、時間間隔から までの間に故障時間が発生する条件付き確率として解釈できます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t+\Delta t}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle h(t)=P(t<T\leq t+\Delta t\mid T>t).}$

とを変換するには、微分方程式を解くことができます。 ${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle F(t)}$

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}=-{\frac {R'(t)}{R(t)}}}$

初期条件は^[2]となる。${\displaystyle R(0)=1}$

${\displaystyle F(t)=1-\exp {\left(-\int _{0}^{t}h(\tau )d\tau \right)}.}$

したがって、同一システムの集合については、ハザード率、故障確率密度、累積故障分布のいずれか 1 つだけを定義する必要があります。 ${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle F(t)}$

「故障率」の表記は関数を指すことが多いため、混乱が生じる可能性がある^。[3]${\displaystyle \lambda (t)}$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle f(t).}$

経験的または理論的証拠に基づいて、故障確率密度またはハザード率を表すために選択できる関数は多数ありますが、最も一般的で理解しやすい選択は、 ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle f(t)=\lambda e^{-\lambda t}}$、

スケーリング定数を持つ指数関数。上の図からわかるように、これは徐々に減少する故障確率密度を表しています。 ${\displaystyle \lambda}$

CDFは次のように計算されます。 ${\displaystyle F(t)}$

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda \tau }\,d\tau =1-e^{-\lambda t},\!}$

これは、研究対象のすべてのシステムが最終的に機能しなくなるという事実 に徐々に近づいていると考えられます。${\displaystyle 1}$${\displaystyle t\to \infty ,}$

ハザード率関数は次のようになります。

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda .}$

言い換えれば、この特定のケースにおいてのみ、ハザード率は時間の経過に伴って一定になります。

これは、ハザード率と故障確率密度の違いを示しています。つまり、ある時点で生き残っているシステムの数が徐々に減少するにつれて、全体の故障率も減少しますが、ハザード率は一定のままです。言い換えれば、個々のシステムが故障する確率は、システムが古くなっても時間とともに変化しません。つまり、システムには「メモリがない」のです。 ${\displaystyle t>0}$

多くのシステムでは、一定のハザード関数は現実的な近似値ではない可能性があり、個々のコンポーネントの故障の可能性はそのコンポーネントの経年によって異なる可能性があります。そのため、他の分布がよく使用されます。

たとえば、決定論的分布では、時間の経過とともにハザード率が上昇しますが (摩耗が最も重要な要素であるシステムの場合)、パレート分布ではハザード率が下がります (初期故障がより一般的なシステムの場合)。一般的に使用されるワイブル分布は、対数正規分布やハイパータバスティック分布と同様に、これらの両方の効果を組み合わせます。

与えられた分布とパラメータをモデル化した後、与えられた方程式を使用して 故障確率密度と累積故障分布を予測できます。${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle F(t)}$

故障率データはいくつかの方法で取得できます。最も一般的な方法は次のとおりです。

推定

現場の故障率レポートから、統計分析技術を使用して故障率を推定できます。正確な故障率を得るには、アナリストは機器の操作、データ収集の手順、故障率に影響を与える主要な環境変数、システム レベルでの機器の使用方法、およびシステム設計者が故障データをどのように使用するかを十分に理解している必要があります。

検討中のデバイスまたはシステムに関する履歴データ

多くの組織では、自社で製造するデバイスやシステムに関する障害情報の内部データベースを維持しており、これを使用してデバイスやシステムの障害率を計算できます。新しいデバイスやシステムの場合、類似のデバイスやシステムの履歴データは、有用な推定値として役立ちます。

政府および商業の失敗率データ

さまざまなコンポーネントの故障率データのハンドブックは、政府および民間の情報源から入手できます。MIL-HDBK-217F (電子機器の信頼性予測)は、多くの軍用電子コンポーネントの故障率データを提供する軍事規格です。一部の非電子コンポーネントを含む商用コンポーネントに焦点を当てた故障率データ ソースは、いくつか市販されています。

予測

時間差は、あらゆる故障率推定における重大な欠点の 1 つです。故障率データが利用可能になる頃には、調査対象のデバイスが時代遅れになっていることがよくあります。この欠点のため、故障率予測方法が開発されました。これらの方法は、新しく設計されたデバイスで使用して、デバイスの故障率と故障モードを予測できます。サイクル テストと FMEDA という 2 つのアプローチがよく知られています。

寿命試験

最も正確なデータ ソースは、実際のデバイスまたはシステムのサンプルをテストして障害データを生成することです。これは多くの場合、非常に高価であったり非現実的であったりするため、代わりに以前のデータ ソースが使用されることがよくあります。

サイクルテスト

機械的な動きは、機械装置や電気機械装置の摩耗を引き起こす主な故障メカニズムです。多くの装置では、摩耗故障点は装置が故障するまでに実行されたサイクル数で測定され、サイクル テストによって検出できます。サイクル テストでは、装置は故障するまで可能な限り高速にサイクルされます。これらの装置をまとめてテストする場合、ユニットの 10% が危険な故障を起こすまでテストが実行されます。

FMEDA

故障モード、影響、診断分析(FMEDA) は、サブシステム/製品レベルの故障率、故障モード、設計強度を取得するための体系的な分析手法です。FMEDA 手法では、次の点を考慮します。

• デザインのすべてのコンポーネント、
• 各コンポーネントの機能、
• 各コンポーネントの故障モード、
• 各コンポーネントの故障モードが製品の機能に与える影響、
• 自動診断による障害検出能力
• 設計強度（ディレーティング、安全係数）と
• 運用プロファイル（環境ストレス要因）。

十分に正確な現場故障データで較正されたコンポーネントデータベースがあれば、^[4]この方法は、特定のアプリケーションにおける製品レベルの故障率と故障モードデータを予測することができます。これらの方法は、通常、故障記録に十分な詳細情報がないレポートに依存しているため、予測は現場保証返品分析や一般的な現場故障分析よりも正確であることが示されています^{[ 5]。 [6]}

故障率の減少は、初期故障が一般的である場合を表し^{[7] 、}減少関数である状況に対応します。 ${\displaystyle h(t)}$

これは、例えば、人間の乳児死亡期間や、製造上の欠陥による トランジスタの早期故障などを説明することができます。

宇宙船の寿命の間に故障率が減少していることがわかっており、ベイカーとベイカーは「長持ちする宇宙船はいつまでも長持ちする」とコメントしている。^{[8] [9]}

航空機の空調システムの危険率は指数関数的に減少する分布を示すことがわかった。^[10]

再生プロセスと呼ばれる特殊なプロセスでは、障害からの回復時間は無視できるため、障害の可能性は時間に対して一定のままです。

DFR更新関数を持つ更新プロセスの場合、更新間隔は凹状になります。^{[説明が必要] [11] [12]} Brownは逆に、更新間隔が凹状になるためにはDFRも必要であると推測しましたが、^[13]この推測は離散的な場合^{[12]でも連続的な場合[14]}でも成り立たないことが示されています。

故障率が減少している場合、変動係数は⩾ 1 であり、故障率が増加している場合、変動係数は ⩽ 1 です。^{[説明が必要] [15]}この結果は、故障率がすべての t ⩾ 0 に対して定義されている場合にのみ成立し^[16]、逆の結果（変動係数が故障率の性質を決定する）は成立しないことに注意してください。

故障率は任意の時間測定単位を使用して表すことができますが、実際には時間単位が最も一般的な単位です。マイル、回転などの他の単位も「時間」単位の代わりに使用できます。

故障率は、多くの場合、100 万個あたりの故障数、つまり 10 ^{−6として}工学表記で表されます。これは、個々のコンポーネントの故障率が非常に低いことが多いためです。

デバイスの故障率（FIT ）は、10億（ ¹⁰⁹）デバイス時間の動作中に予想される故障の数です^[17] （例：1,000個のデバイスを1,000,000時間動作させる、または1,000,000個のデバイスをそれぞれ1,000時間動作させる、またはその他の組み合わせ）この用語は、特に半導体業界で使用されています。

複雑なシステムが多くの部分で構成され、1つの部分の故障がシステム全体の故障を意味する場合、全体の故障率は単純にその部分の個々の故障率の合計になります。

${\displaystyle \lambda _{S}=\lambda _{P1}+\lambda _{P2}+\ldots }$

しかし、これは故障率が一定であり、単位が一貫していること（例えば、100万時間あたりの故障数）を前提としており、比率や確率密度として表現されるわけではない。これは、個々のコンポーネントまたはサブシステムがすでにテストされている場合に、システムの故障率を推定するのに役立ちます。^{[18] [19]}${\displaystyle \lambda (t)}$

単一障害点を排除するために「冗長」コンポーネントを追加すると、実際には故障率が上昇する可能性がありますが、「ミッション失敗」率、つまり「重大な故障間の平均時間」（MTBCF）は低下します。^[20]

時間に依存する故障率やハザード率を組み合わせるのはより複雑です。たとえば、故障率減少（DFR）変数の混合もDFRです。^[11]指数分布の故障率 の混合は超指数分布です。

あるコンポーネントの故障率を推定したいとします。10 個の同一コンポーネントをそれぞれテストし、故障するか 1,000 時間経過するとテストを終了します。合計 7,502 コンポーネント時間のテストが実行され、6 件の故障が記録されます。

推定故障率は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {6{\text{ 失敗数}}}{7502{\text{ 時間}}}}=0.0007998\,{\frac {\text{ 失敗数}}{\text{ 時間}}}}$

これは、MTBF 1,250 時間、つまり 100 万時間の稼働時間あたり約 800 回の故障として表現することもできます。

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