親関数

数学教育において、親関数とは、変換や拡大などの操作を除いた関数型の中核的な表現である。^[1]例えば、一般形

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,,}$

最も単純な関数は

${\displaystyle y=x^{2}}$、

そして、あらゆる二次方程式は平行移動と拡大縮小によってその形に変換することができ、これは平方完成によって見ることができます。したがって、これは二次方程式族の親関数です。

線形関数と二次関数の場合、任意の関数のグラフは、親関数のグラフから、軸に平行な単純な平行移動と伸縮によって取得できます。たとえば、y  =  x ²  − 4 x + 7 のグラフは、 y  =  x ² のグラフから、X 軸に沿って +2 単位、Y 軸に沿って +3 単位平行移動することで取得できます。これは、方程式がy  − 3 = ( x  − 2) ²と書くこともできるからです。

多くの三角関数では、親関数は通常、基本的な sin( x )、cos( x )、または tan( x ) です。たとえば、y  =  A  sin( x ) +  B  cos( x ) のグラフは、 y  = sin( x )のグラフを正の X 軸に沿って角度 α だけ平行移動し (ここで tan(α) =  A ⁄ B )、次に伸縮係数R を使用して Y 軸と平行に伸縮することで得られます(ここでR ²  =  A ²  +  B ^{2 )}。これは、A  sin( x ) +  B  cos( x ) がR  sin( x −α)と記述できるためです(三角関数の恒等式の一覧を参照)。あるいは、親関数を cos( x ) と解釈することもできます。

親関数の概念は、余分な転換点があるため、高次の多項式では明確でなかったり適用できなかったりしますが、任意のnに対するn次多項式関数の族では、親関数はx ⁿ、またはさらに単純化するために、nが偶数のときはx ² 、奇数のときはx ³とされることがあります。微分によって転換点を確立し、グラフの詳細をさらに提供することができます。

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