キュリーの法則

多くの常磁性材料では、十分に高い温度と小さい磁場の場合、材料の磁化は印加磁場に正比例します。しかし、材料が加熱されると、この比例関係は減少します。磁場の値が固定されている場合、磁化率は温度に反比例します。

${\displaystyle M=\chi H,\quad \chi ={\frac {C}{T}},}$

どこ

${\displaystyle \chi >0}$（体積）磁化率である。

${\displaystyle M}$は結果として生じる磁化の大きさ（A / m）であり、

${\displaystyle H}$は印加磁場の強さ（A/m）であり、

${\displaystyle T}$絶対温度（K）、

${\displaystyle C}$材料固有のキュリー定数（K）です。

ピエール・キュリーは、現在キュリーの法則として知られているこの関係を、実験データを当てはめることによって発見しました。この関係は、高温と弱い磁場の場合にのみ当てはまります。以下の導出が示すように、低温と強い磁場の反対の極限では磁化は飽和します。キュリー定数がゼロの場合、ランジュバン反磁性やヴァン・ブレック常磁性などの他の磁気効果が優勢になります。

常磁性体の単純なモデルは、互いに相互作用しない常磁性体を構成する粒子に焦点を当てています。各粒子は、次のように表される磁気モーメントを持ちます。磁場における 磁気モーメントのエネルギーは、次のように表されます。${\displaystyle {\vec {\mu}}}$

${\displaystyle E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$

ここで、磁場密度はテスラ(T) 単位で測定されます。 ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$

計算を簡単にするために、 2 状態の粒子を扱います。つまり、粒子の磁気モーメントは磁場と一致するか、磁場と反対の方向を向いています。したがって、磁気モーメントの可能な値は と のみです。そうであれば、このような粒子には、磁場と一致するときと、磁場と反対の方向を向いているとき の2 つのエネルギーしかありません。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle -\mu}$${\displaystyle -\mu B}$${\displaystyle +\mu B}$

磁気モーメントが磁場とどの程度一致するかは、分配関数から計算できる。単一粒子の場合、これは

${\displaystyle Z_{1}=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta } =2\cosh(\mu B\beta ).}$

N個のこのような粒子の集合に対する分配関数は、それらが相互作用しない場合には、

${\displaystyle Z=Z_{1}^{N},}$

そして自由エネルギーは

${\displaystyle G=-{\frac {1}{\beta }}\log Z=-Nk_{\rm {B}}T\log Z_{1}.}$

磁化は印加磁場に対する自由エネルギーの負の微分であり、したがって単位体積あたりの磁化は

${\displaystyle M=n\mu \tanh {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}},}$

ここでnは磁気モーメントの数密度である。 ^{[1] : 117}上記の式はランジュバン常磁性方程式として知られている。 ピエール・キュリーは、実験で使用された比較的高い温度と低い磁場に適用されるこの法則の近似値を発見した。温度が上昇し磁場が減少すると、双曲正接の引数は減少する。キュリー領域では、

${\displaystyle {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}}\ll 1.}$

さらに、ならば、 ${\displaystyle |x|\ll 1}$

${\displaystyle \tanh x\approx x,}$

したがって磁化は小さく、 と書くことができ、したがって ${\displaystyle B\approx \mu _{0}H}$

${\displaystyle M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k_{\rm {B}}}}{\frac {H}{T}}.}$

この領域では、磁化率は

${\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}}$

収穫

${\displaystyle \chi (T\to \infty )={\frac {C}{T}},}$

キュリー定数はケルビン（K）で表されます。 ^[2]${\displaystyle C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k_{\rm {B}}}$

低温または高磁場の領域では、は最大値 に近づきます。これは、すべての粒子が磁場と完全に一直線になっていることに対応します。この計算は、パウリの排他原理によってスピンを反転することが禁じられているフェルミ面の奥深くに埋め込まれた電子を説明していないため、低温における問題の量子統計の例証にはなりません。フェルミ・ディラック分布を使用すると、低温では が磁場に線形に依存するため、磁化率は定数に飽和すること がわかります。${\displaystyle M}$${\displaystyle n\mu}$${\displaystyle M}$

粒子が任意のスピン（任意の数のスピン状態）を持つ場合、式はもう少し複雑になります。低磁場または高温では、スピンはキュリーの法則に従います。^[3]

${\displaystyle C={\frac {\mu _{0}\mu _{\text{B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}$

ここで は全角運動量量子数、 はg因子（磁気モーメント ）である。磁気モーメント を持つ2準位系の場合、式は上記のように簡約される が、ガウス単位 での対応する表現は次のようになる。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu =gJ\mu _{\text{B}}}$${\displaystyle \mu}$$${\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu _{0}\mu ^{2},}$$$${\displaystyle C={\frac {\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}$$ $${\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu ^{2}.}$$

このより一般的な式とその導出（高磁場、低温を含む）については、ブリルアン関数の記事を参照してください。スピンが無限大に近づくにつれて、磁化の式は次のセクションで導出される古典的な値に近づきます。

常磁性体が古典的な、自由に回転する磁気モーメントであると想定される場合は、別の処理が適用されます。この場合、それらの位置は球座標における角度によって決定され、それらの 1 つのエネルギーは次のようになります。

${\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}$

ここで、は磁気モーメントと磁場（ 座標系で指しているものとする）の間の角度である。対応する分配関数は ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}$

角度に依存しないことがわかります。また、変数を次のよう に変更することもできます。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle y=\cos \theta }$

${\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}$

ここで、磁化成分の期待値（他の2つは（ 上の積分により）ゼロであることがわかる）は次のように与えられる。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}$

計算を簡単にするために、これは の微分として表すことができます。 ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}}$

(このアプローチは上記のモデルにも使用できますが、計算が非常に単純なため、あまり役に立ちません。)

導出を実行すると、

${\displaystyle M=n\left\langle \mu _{z}\right\rangle =n\mu L(\mu B\beta ),}$

ランジュバン関数は次のとおりです。 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}$

この関数は が小さい場合特異関数のように見えますが、2 つの特異項が互いに打ち消し合うため特異関数ではありません。実際、引数が小さい場合の関数の挙動は である ため、キュリー限界も適用されますが、この場合はキュリー定数が 3 倍小さくなります。同様に、引数の値が大きくなると関数は で飽和し、反対の限界も同様に回復されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle L(x)\approx x/3}$${\displaystyle 1}$

ピエール・キュリーは1895年に酸素の磁化率が温度に反比例することを観察した。ポール・ランジュバンは10年後にこの関係の古典的な導出を発表した。^[4]

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