代数的整数論 において、 アイゼンシュタインの相互法則 は、 二次相互法則 と 三次相互法則 を高次の冪の剰余に 拡張した 相互法則である。これは高次の相互法則の中で最も古く単純な法則の一つであり、 アルティンの相互法則などのいくつかの後のより強力な相互法則の結果である。これは アイゼン シュタイン (1850)によって導入されたが 、ヤコビはそれ以前に 1839 年に 5 乗、8 乗、12 乗の特殊なケースについて同様の結果を (証明なしで) 発表していた。 [1]
背景と表記 を整数とし、を m 次 の 円分体 ( は 原始
m 次 の単位根 ) の 整数環 とします 。
メートル > 1
{\displaystyle m>1}
お
メートル
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}
質問
（
ζ
メートル
） 、
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{m}),}
ζ
メートル
=
e
2 π 私
1 メートル
{\displaystyle \zeta _{m}=e^{2\pi i{\frac {1}{m}}}}
数字 は 単位 です（ 他の単位 も
あります）。
ζ
メートル
、
ζ
メートル
2
、 …
ζ
メートル
メートル
= 1
{\displaystyle \zeta _{m},\zeta _{m}^{2},\dots \zeta _{m}^{m}=1}
お
メートル
。
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}.}
基本番号 ある数が単位数 でなく 、と 互いに素で あり 、有理数（すなわち ）整数と合同である場合、 その数は 一次数 と呼ばれる [2] [3]。
α ∈
お
メートル
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{m}}
メートル
{\displaystyle m}
ず
{\displaystyle \mathbb {Z} }
（ モッド （ 1 −
ζ
メートル
）
2
）
。
{\displaystyle {\pmod {(1-\zeta _{m})^{2}}}.}
次の補題 [4] [5] は、における基本数が における正の整数に類似していることを示している。
お
メートル
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}
ず
。
{\displaystyle \mathbb {Z} .}
と が 互いに素である と 仮定すると 、
α 、 β ∈
お
メートル
{\displaystyle \alpha,\beta\in{\mathcal{O}}_{m}}
α
{\displaystyle \alpha}
β
{\displaystyle \beta}
メートル 。
{\displaystyle m.}
整数が プライマリ になっています 。この整数は一意です
ｃ
{\displaystyle c}
ζ
メートル
ｃ
α
{\displaystyle \zeta _{m}^{c}\alpha }
（ モッド メートル ）
。
{\displaystyle {\pmod {m}}.}
と が 主要であれば、 は 主要 です。ただし、 は と 互いに素である必要があります 。
α
{\displaystyle \alpha}
β
{\displaystyle \beta}
α ± β
{\displaystyle \alpha \pm \beta }
α ± β
{\displaystyle \alpha \pm \beta }
メートル
{\displaystyle m}
および が プライマリである 場合、 は プライマリです。
α
{\displaystyle \alpha}
β
{\displaystyle \beta}
α β
{\displaystyle \alpha \beta }
α
メートル
{\displaystyle \alpha^{m}}
プライマリです。
定義に現れる
の意味は、
が素数であるときに最も簡単にわかる。その場合
、
の
素イデアル
は
完全に分岐する。
1 −
ζ
メートル
{\displaystyle 1-\zeta _{m}}
メートル = l
{\displaystyle m=l}
l = （ 1 −
ζ
l
） （ 1 −
ζ
l
2
） … （ 1 −
ζ
l
l − 1
） 。
{\displaystyle l=(1-\zeta _{l})(1-\zeta _{l}^{2})\dots (1-\zeta _{l}^{l-1}).}
（ l ）
{\displaystyle (l)}
ず
{\displaystyle \mathbb {Z} }
質問
（
ζ
l
）
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{l})}
（ l ） = （ 1 −
ζ
l
）
l − 1
、
{\displaystyle (l)=(1-\zeta _{l})^{l-1},}
そしてそのイデアル
は1次の素数である。 [6] [7]
(
1
−
ζ
l
)
{\displaystyle (1-\zeta _{l})}
メートル べき乗剰余記号 のm 乗 剰余記号 は 、0 または1 の m 乗根のいずれかです。
α
,
β
∈
O
m
,
{\displaystyle \alpha ,\beta \in {\mathcal {O}}_{m},}
O
m
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}
(
α
β
)
m
=
{
ζ
where
ζ
m
=
1
if
α
and
β
are relatively prime
0
otherwise
.
{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}={\begin{cases}\zeta {\mbox{ where }}\zeta ^{m}=1&{\mbox{ if }}\alpha {\mbox{ and }}\beta {\mbox{ are relatively prime}}\\0&{\mbox{ otherwise}}.\\\end{cases}}}
これは、古典的な（2次、 m = 2） ヤコビ記号の m 乗バージョン です （ と は 互いに素であると仮定します）。
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
もし 、 そして
η
∈
O
m
{\displaystyle \eta \in {\mathcal {O}}_{m}}
α
≡
η
m
(
mod
β
)
{\displaystyle \alpha \equiv \eta ^{m}{\pmod {\beta }}}
(
α
β
)
m
=
1.
{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}=1.}
が m 乗 でない 場合
(
α
β
)
m
≠
1
{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}\neq 1}
α
{\displaystyle \alpha }
(
mod
β
)
.
{\displaystyle {\pmod {\beta }}.}
は m 乗かもしれないし、 そうで ないかもしれない。
(
α
β
)
m
=
1
{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}=1}
α
{\displaystyle \alpha }
(
mod
β
)
.
{\displaystyle {\pmod {\beta }}.}
定理の記述 を奇数素数、を 整数 と互いに素 で あると する 。
m
∈
Z
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} }
a
∈
Z
{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }
m
.
{\displaystyle m.}
最初の補足
(
ζ
m
a
)
m
=
ζ
m
a
m
−
1
−
1
m
.
{\displaystyle \left({\frac {\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}=\zeta _{m}^{\frac {a^{m-1}-1}{m}}.}
[8]
第二補足
(
1
−
ζ
m
a
)
m
=
(
ζ
m
a
)
m
m
+
1
2
.
{\displaystyle \left({\frac {1-\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}=\left({\frac {\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}^{\frac {m+1}{2}}.}
[8]
エイゼンシュタインの相互主義 を （したがって と互いに素 ）と し 、 も と互いに素である と仮定する 。すると [8] [9]
α
∈
O
m
{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{m}}
m
{\displaystyle m}
α
{\displaystyle \alpha }
a
{\displaystyle a}
(
α
a
)
m
=
(
a
α
)
m
.
{\displaystyle \left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{m}=\left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{m}.}
証拠 この定理はスティッケルバーガー関係式 の結果である 。 [10] [11]
ヴェイユ (1975) は、アイゼンシュタインのオリジナルの証明に基づいたガウス和とヤコビ和を使用したアイゼンシュタインの法則の証明を含む、いくつかの初期の相互法則に関する歴史的な議論を行っています。
一般化 1922年に 高木は 、が素数 の - 乗根を 含む 任意の 代数体 である場合、 - 乗に対するアイゼンシュタインの法則が成り立つこと を証明した [12]。
K
⊃
Q
(
ζ
l
)
{\displaystyle K\supset \mathbb {Q} (\zeta _{l})}
l
{\displaystyle l}
l
{\displaystyle l}
l
{\displaystyle l}
K
.
{\displaystyle K.}
アプリケーション
フェルマーの最終定理の最初のケース が
奇数の素数であり、
互いに素な整数同士（つまり
）
に対して であり
、
p
{\displaystyle p}
x
p
+
y
p
+
z
p
=
0
{\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0\;\;}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
p
∤
x
y
z
.
{\displaystyle p\nmid xyz.\;\;}
これはフェルマーの最終定理の最初のケース です 。（2番目のケースは の場合です ）アイゼンシュタインの相互法則は、次の定理を証明するために使用できます。
p
∣
x
y
z
.
{\displaystyle p\mid xyz.\;}
（ヴィーフェリッヒ1909） [13] [14] 上記の仮定のもとで、
2
p
−
1
≡
1
(
mod
p
2
)
.
{\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.\;\;}
これを満たす 6.7×10 15 未満の素数は 1093 と 3511 のみです。 詳細と現在の記録については、 Wieferich 素数を参照してください。 （ミリマノフ1911） [15] 上記の仮定の下で
3
p
−
1
≡
1
(
mod
p
2
)
.
{\displaystyle 3^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.}
113 以下のすべての素数に対して同様の結果が得られますが、証明ではアイゼンシュタインの法則は使用されません。 ヴィーフェリッヒ素数#フェルマーの最終定理との関連 を参照してください。 （フルトヴェングラー 1912） [16] [17] 上記の仮定のもとで、すべての素数
r
∣
x
,
r
p
−
1
≡
1
(
mod
p
2
)
.
{\displaystyle r\mid x,\;\;\;r^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.}
（フルトヴェングラー 1912） [18] 上記の仮定のもとで、すべての素数
r
∣
(
x
−
y
)
,
r
p
−
1
≡
1
(
mod
p
2
)
.
{\displaystyle r\mid (x-y),\;\;\;r^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.}
（ヴァンディバー） [19] 上記の仮定のもとで、さらに
、
そして
p
>
3
,
{\displaystyle p>3,}
x
p
≡
x
,
y
p
≡
y
{\displaystyle x^{p}\equiv x,\;y^{p}\equiv y}
z
p
≡
z
(
mod
p
3
)
.
{\displaystyle z^{p}\equiv z{\pmod {p^{3}}}.}
最も多くの素数をモジュレートするべき乗 アイゼンシュタインの法則は、次の定理を証明するために使用できる（トロスト、 アンケニー 、 ロジャーズ ）。 [20] が
奇数の素数であると仮定する。
が
有限
個
以外のすべての素数に対して解ける
場合
、
a
∈
Z
{\displaystyle a\in \mathbb {Z} }
l
∤
a
{\displaystyle l\nmid a}
l
{\displaystyle l}
x
l
≡
a
(
mod
p
)
{\displaystyle x^{l}\equiv a{\pmod {p}}}
p
{\displaystyle p}
a
=
b
l
.
{\displaystyle a=b^{l}.}
参照
注記
^ レマーマイヤー、392ページ。 ^ アイルランド＆ローゼン、第14.2章 ^ Lemmermeyer、第11.2章では、 「semi-primary」という 用語が使用されています。 ^ アイルランドとローゼン、第 14.2 章の補題 (最初の主張のみ) ^ レメレイアー、補題 11.6 ^ アイルランド＆ローゼン、提案13.2.7 ^ レマーマイヤー、提案 3.1 ^ abc レマーマイヤー、thm. 11.9 ^ アイルランド＆ローゼン、第14章1節 ^ アイルランド＆ローゼン、第14.5章 ^ レマーマイヤー、第 11.2 章 ^ レマーマイヤー、第 11 章の注釈 ^ レマーマイヤー、例 11.33 ^ アイルランド＆ローゼン、14.5 ^ レマーマイヤー、例 11.37 ^ レマーマイヤー、例 11.32 ^ アイルランド＆ローゼン、14.6 ^ レマーマイヤー、例 11.36 ^ アイルランドとローゼン、第 14 章の注釈 ^ アイルランド＆ローゼン、ch. 14.6、thm. 4。これはより一般的な定理の一部です。 有限個以外のすべての素数に対して 、i) ならば 、 しかし、ii) ならば 、 または
x
n
≡
a
(
mod
p
)
{\displaystyle x^{n}\equiv a{\pmod {p}}}
p
.
{\displaystyle p.}
8
∤
n
{\displaystyle 8\nmid n}
a
=
b
n
{\displaystyle a=b^{n}}
8
|
n
{\displaystyle 8|n}
a
=
b
n
{\displaystyle a=b^{n}}
a
=
2
n
2
b
n
.
{\displaystyle a=2^{\frac {n}{2}}b^{n}.}
参考文献 アイゼンシュタイン、ゴットホルト (1850)、「Beweis der allgemeinsten Reciprocitätsgesetze zwischen reellen und komplexen Zahlen」、 Verhandlungen der Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin (ドイツ語): 189–198、Mathematische Werke 巻に転載2、712～721ページ アイルランド、ケネス、ローゼン、マイケル（1990）、 現代数論への古典的入門（第2版） 、ニューヨーク： シュプリンガーサイエンス+ビジネスメディア 、 ISBN 0-387-97329-X アンドレ・ヴェイユ (1975)、「La cyclotomie jadis et naguère」、Séminaire Bourbaki、Vol. 1973/1974、アンネ 26 番、Exp. No. 452、数学講義ノート、vol. 452 431、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag 、pp. 318–338、 MR 0432517 
