オクトスの相互関係

数論において、八次の相互法則は、素数を法とする8乗の剰余を関連付ける相互法則であり、二次の相互法則、三次の相互法則、および四次の相互法則に類似しています。

ウィリアムズによれば、8 乗には有理相互法則がある。x が素数pを法とするk乗の場合は記号を +1、そうでない場合は -1 と定義する。p と q を 8 を法とする 1 と合同な異なる素数とし、p = a 2 + b 2 = c 2 + ² d 2 ^、 q = ^A 2 + ^B 2 = C 2 ⁺ 2 D ²とし^、 aAは^奇数とする。すると ${\displaystyle \left({\frac {x}{p}}\right)_{k}}$${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)_{4}=\left({\frac {q}{p}}\right)_{4}=+1.}$

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)_{8}\left({\frac {q}{p}}\right)_{8}=\left({\frac {aB-bA}{q}}\right)_{4}\left({\frac {cD-dC}{q}}\right)_{2}\ .}$

• アルティンの相互関係
• エイゼンシュタインの相互主義

• Lemmermeyer、Franz (2000)、互恵法。オイラーからエイゼンシュタインまで、Springer Monographs in Mathematics、Springer-Verlag、ベルリン、pp. 289–316、ISBN 3-540-66957-4、MR  1761696、Zbl  0949.11002
• ウィリアムズ、ケネス S. (1976)、「有理八面体相互法則」、パシフィックジャーナルオブ数学、63 (2): 563–570、doi : 10.2140/pjm.1976.63.563、ISSN  0030-8730、MR  0414467、Zbl  0311.10004