臨界質量

核反応中、粒子の分裂により孤立した中性子が生成されます。これらの中性子は原子核から分離すると、空間全体に自由に拡散することができます。^{[ 2 ]}放出された中性子を含む環境で、亜原子粒子と標的の原子核が衝突しない確率は、脱出確率として知られています。臨界質量が大きい環境では、活性中性子が他の亜原子粒子と干渉せずに脱出する可能性は低くなります。これは、空間が広くなると粒子の動きが大きくなり、衝突が増えるためです。^{[ 3 ]}

弾性散乱とは、粒子が他の粒子と衝突すると、完全に弾性的に反応し、衝突前と同じ運動エネルギーを保持したまま跳ね返る現象である。^{[ 4 ]}弾性散乱により、中性子の軌道の持続時間と長さは指数関数的に大きくなる。これは、粒子の跳ね返り方向が異なるためである。^{[ 5 ]}

弾性散乱は脱出確率に直接関係しており、粒子の跳ね返りによって衝突せずに質量から脱出する確率が大幅に低下する。^{[ 2 ]}臨界質量が大きい原子環境では、エネルギーの保持により連続的な散乱が可能になるため、中性子衝突の機会が本質的に多くなる。^{[ 3 ]}

さらに、弾性ポテンシャルが高く、したがって弾性散乱が大きい材料は、必要な臨界質量が小さくなるため、より少ない核分裂性物質の使用を可能にします。核分裂性物質のこのような節約は、核科学の未来にとって不可欠です。なぜなら、臨界を維持することがより安価で便利になればなるほど、核イノベーションの開発への投資が増えるからです。^{[ 6 ]}

質量体は、完全な均質球体でなくても、臨界状態に達することがある。形状をより完全な球体に近づけると、質量体は超臨界状態になる。逆に、形状を不完全な球体に変更すると、反応性が低下し、亜臨界状態になる。

ある質量は、特定の温度でちょうど臨界となる場合があります。核分裂断面積と吸収断面積は、相対中性子速度が低下するにつれて増加します。燃料温度が上昇すると、特定のエネルギーの中性子はより速く見えるため、核分裂/吸収は起こりにくくなります。これは、^238U共鳴のドップラー広がりと無関係ではありませんが、すべての燃料/吸収体/構成に共通しています。非常に重要な共鳴を無視すると、すべての物質の全中性子断面積は、相対中性子速度と逆相関の関係を示します。高温燃料は常に低温燃料よりも反応性が低くなります（軽水炉における過剰減速/不足減速は別のトピックです）。温度上昇に伴う熱膨張も、燃料原子が互いに離れていくため、負の反応度係数に寄与します。室温でちょうど臨界となる質量は、熱膨張のみによって、室温を超える環境では臨界未満になります。

わずかに臨界未満の質量に適切な量の燃料を追加して、かろうじて臨界を超える質量を作り出すと、集合体の温度は最初に最大値（例えば、周囲温度より1 K高い）まで上昇し、その後、核分裂中に消費される燃料によって集合体が再び臨界未満状態に戻るため、一定時間後に周囲温度まで低下します。 

密度が高いほど、臨界質量は低くなります。一定温度における物質の密度は、圧力や張力を変化させたり、結晶構造を変化させたりすることによって変化させることができます（プルトニウムの同素体を参照）。理想的な質量は、膨張を許容すると亜臨界状態になり、逆に同じ質量は圧縮されると超臨界状態になります。温度を変化させると密度も変化する可能性がありますが、臨界質量への影響は、温度の影響（「温度の変化」を参照）や、物質が温度上昇に伴って膨張するか収縮するかによって複雑になります。物質が温度とともに膨張すると仮定すると（例えば、室温の濃縮ウラン235）、厳密に臨界状態にある場合、密度が低くなるように加熱すると亜臨界状態になり、密度が高くなるように冷却すると超臨界状態になります。このような物質は、反応性の温度係数が負であると言われ、温度が上昇すると反応性が低下することを示しています。このような物質を燃料として使用すると、燃料温度が上昇するにつれて核分裂が減少します。

量子色力学は、素粒子と原子粒子の相互作用の分析を通して原子核の形成を説明する理論です。臨界質量と同様に、量子色力学理論には、一次相転移が起こるために必要な最低温度とポテンシャルを定義する臨界点があります。^{[ 7 ]}

動的カイラル対称性の破れは、素粒子の一種であるフェルミオンの蓄積による自発的な質量の形成である。その理論では、臨界質量は素粒子を分離するために必要な最小クォーク質量として記述されている。^{[ 8 ]}粒子の分裂が起こると、フェルミオン質量に隙間が生じ、粒子の運動が増加する。粒子が運動すると、エネルギー獲得が促進され、最終的に核反応の開始の可能性が高まる。^{[ 9 ]}

球状の臨界質量を中性子反射体で囲むと、臨界に必要な質量がさらに減少します。中性子反射体を使用して核分裂事象の発生確率を高めることで、反応全体の燃料効率が同時に向上します。燃料効率が向上すると、反応に必要な臨界質量は低くなります。^{[ 10 ]}

一般的な反射材には、ベリリウム、グラファイト、炭化タングステンなどの重金属があり、材料の選択は特定の原子炉設計と管理される中性子の種類によって異なります。一般的に使用される特定の材料を見ると、ベリリウムは中性子吸収断面積が小さいため、効果的な材料として認識されています。^{[ 11 ]}グラファイトは、減速材や反射材など、多様な機能を持つため使用されています。^{[ 12 ]}炭化タングステンやステンレス鋼などの重金属は、反応中に放出される中性子の量を大幅に減らすため、よく使用されます。反射材は中性子を反射することで、核分裂性物質の臨界質量未満を臨界状態にすることができ、また、すでに臨界質量にある核分裂率を高めることもできます。^{[ 10 ]}

中性子反射器は、原子炉、核兵器、さらには中性子スーパーミラーなど、さまざまな核技術で一般的に使用されています。原子炉では、中性子反射器が核分裂反応と核融合反応の発生を指数関数的に加速し、その可能性を高めることができるため、中性子反射器に大きく依存しています。核兵器では、歴史的に中性子反射器を使用して、兵器使用時の臨界質量への到達速度を高めてきました。最後に、中性子反射器は、中性子ビームの反射に関する核物理学の研究、別名核スーパーミラーにとって不可欠です。^{[ 10 ]}

爆弾では、核分裂性物質の核を囲む高密度の物質の殻が、慣性によって膨張する核分裂性物質を閉じ込め、効率を高めます。これはタンパーとして知られています。タンパーは中性子反射体としても機能する傾向があります。爆弾は高速中性子（原子炉のように軽元素との反射によって減速される中性子ではない）に依存しているため、タンパーによって反射された中性子はタンパーの原子核との衝突によって減速され、反射された中性子が核分裂性物質の核に戻るのに時間がかかるため、核分裂性原子核に吸収されるまでにかなり時間がかかります。しかし、それらは反応に寄与し、臨界質量を4分の1に減らすことができます。^{[ 13 ]} また、タンパーが（劣化ウランなど）ウランである場合、一次爆発によって生成された高エネルギー中性子によって核分裂を起こす可能性があります。これは、特に水素同位体を融合させることで、いわゆるブースト構成においてさらに多くのニュートロンが生成される場合には、収量を大幅に増加させることができる。

最小臨界質量を持つ形状は球形です。いくつかのアクチニドの通常の密度における裸球の臨界質量を次の表に示します。裸球の質量に関する情報のほとんどは、核兵器の設計に不可欠であるため機密扱いとされていますが、一部の文書は機密解除されています。^{[ 14 ]}

低品位ウランの臨界質量は品位に大きく依存します。235Uが45%の場合^、裸球の臨界質量は約185キログラム（408ポンド）です。235U^が19.75%の場合、780キログラム（1,720ポンド）を超えます^。235Uが15%の場合、 1,350キログラム（2,980ポンド）をはるかに超えます。これらのすべての場合において、ベリリウムのような中性子反射体を使用すると、この量を大幅に減らすことができます。たとえば、5センチメートル（2.0インチ）の反射体を使用すると、19.75%濃縮ウランの臨界質量は403キログラム（888ポンド）に減少し、15センチメートル（5.9インチ）の反射体を使用すると、 144キログラム（317ポンド）に減少します。^{[ 26 ]}       

臨界質量は密度の二乗に反比例します。密度が1%増加し、質量が2%減少すると、体積は3%減少し、直径は1%減少します。中性子が1cm移動して原子核に衝突する確率は密度に比例します。したがって、密度が1%増加すると、系から出るまでの移動距離は1%減少します。プルトニウム金属には密度が大きく異なる多数の結晶相が存在するため、上記の概算値よりも正確なプルトニウム同位体の臨界質量を推定しようとする際には、この点を考慮に入れる必要があります。

すべてのニュートロンが連鎖反応に寄与するわけではないことに注意してください。一部は反応から脱出し、その他は放射捕獲を受けます。

q を、ある中性子が原子核内で核分裂を引き起こす確率とする。即発中性子のみを考慮し、ν を核分裂で生成される即発中性子の数とする。例えば、ウラン 235 の場合、 ν ≈ 2.5 である。このとき、臨界はν·q = 1のときに発生する。この臨界が形状、質量、密度に依存することは、係数qを通して現れる。

全相互作用断面積σ（通常はバーン単位で測定される）が与えられた場合、即発中性子の平均自由行程は次のようになる。${\displaystyle \ell ^{-1}=n\sigma }$ここでnは核数密度である。ほとんどの相互作用は散乱事象であるため、特定の中性子は媒質から脱出するか核分裂反応を引き起こすまでランダムウォークに従う。他の損失メカニズムが重要でない限り、球状臨界質量の半径は平均自由行程の積でほぼ与えられる。${\displaystyle \ell }$また、ランダムウォークで移動する正味の距離はステップ数の平方根に比例するため、1 + 1 + 1/分裂イベント数（これをsと呼ぶ）の平方根にも比例する。

$${\displaystyle R_{c}\simeq \ell {\sqrt {s}}\simeq {\frac {\sqrt {s}}{n\sigma }}}$$

ただし、これはあくまで概算に過ぎないことを改めて強調しておきます。

全質量M、核質量m、密度 ρ、および幾何学的効果やその他の効果を考慮した補正係数fに関して、臨界は以下に対応する。

${\displaystyle 1={\frac {f\sigma }{m{\sqrt {s}}}}\rho ^{2/3}M^{1/3}}$

これは、臨界質量が密度の二乗に反比例するという前述の結果を明確に裏付けている。

あるいは、これを質量の面積密度Σを用いてより簡潔に言い換えることもできる。

${\displaystyle 1={\frac {f'\sigma }{m{\sqrt {s}}}}\Sigma }$

ここで、係数fは、幾何学的効果や Σ の定義方法によって 2 つの値が異なる可能性があることを考慮して、f'と書き換えられています。たとえば、 ²³⁹  Pu の裸の固体球の場合、臨界は密度に関係なく 320 kg/m ²で、²³⁵ U の場合は 550  kg/m ²です。いずれにせよ、臨界は、典型的な中性子が周囲の原子核を「見る」ことで、原子核の面積密度が一定の閾値を超えるかどうかに依存します。

これは、爆縮型核兵器に応用されており、臨界質量より大幅に少ない球状の核分裂性物質塊を、ρ（およびΣ）を非常に急速に増加させることによって超臨界状態にする（下記参照）。実際、高度な核兵器開発計画では、より原始的な兵器開発計画よりも少ない材料で機能的な装置を製造することができる。

数学的な説明はさておき、この結果を説明するのに役立つ単純な物理的類似例があります。排気管から噴出されるディーゼル排気ガスを考えてみましょう。最初は排気ガスは黒く見えますが、徐々に透けて見えるようになります。これは、すべてのすす粒子の散乱断面積が変わったからではなく、すすが分散したためです。一辺の長さがLの透明な立方体にすすを詰めたとすると、この媒質の光学的深さはLの2乗に反比例し、したがってすす粒子の面積密度に比例します。つまり、立方体を大きくするだけで、仮想の立方体を通して見やすくなるのです。

臨界質量の正確な値を決定するには、いくつかの不確実性が影響します。これには、（1）核分裂断面積の詳細な知識、（2）幾何学的効果の計算などが含まれます。後者の問題は、ニコラス・メトロポリスとスタニスワフ・ウラムによる計算物理学におけるモンテカルロ法の開発の大きな動機となりました。実際、均質な固体球であっても、正確な計算は決して容易ではありません。最後に、中性子輸送を連続体近似で仮定することで計算を実行できることにも注意してください。これにより、問題は拡散問題に帰着します。しかし、典型的な線形寸法は平均自由行程よりもそれほど大きくないため、このような近似は限定的にしか適用できません。

最後に、理想化された形状によっては、臨界質量が形式的に無限大になる場合があり、臨界状態を記述するために他のパラメータが用いられる場合があることに注意してください。例えば、無限に広がる核分裂性物質のシートを考えてみましょう。任意の有限の厚さであれば、これは無限の質量に相当します。しかし、臨界状態は、このシートの厚さが臨界値を超えた場合にのみ達成されます。

タンパーを使用することで臨界質量を大幅に低減できます。次の表は、一般的な中性子反射材の値を示しています。ここで、λ _{tamp は}弾性散乱前のタンパー材料内での中性子の平均自由行程です。核兵器の設計では、主に天然ウランが使用されます。リトルボーイでは、当初タングステンカーバイドが使用されました。