キャベンディッシュ実験

1797年から1798年にかけてイギリスの科学者ヘンリー・キャベンディッシュが行ったキャベンディッシュの実験は、実験室で質量間の重力を測定した最初の実験であり^{[ 1 ]} 、重力定数の正確な値を初めて得た実験でもあった^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。}当時使用されていた単位の慣例により、重力定数はキャベンディッシュの論文には明示的に現れていない。代わりに、結果は当初、地球の相対密度[ ^{5 ]}、あるいは地球の質量として表された。彼の実験は^、これらの地球物理学的定数の正確な値を初めて与えた。

この実験は、1783 年より前にイギリスの地質学者ジョン・ミッチェルによって考案され、^{[ 6 ] [ 7 ]}彼はこの実験のためにねじり天秤装置を製作した。しかし、ミッチェルは 1793 年にこの研究を完成させることなく亡くなった。彼の死後、この装置はフランシス・ジョン・ハイド・ウォラストンに渡り、その後キャベンディッシュに渡った。キャベンディッシュは装置を再構築したが、ミッチェルの元の計画に忠実に従った。キャベンディッシュはその後、この装置で一連の測定を行い、1798 年に王立協会の哲学的トランザクションでその結果を報告した。 ^{[ 8 ]}

この装置は、ワイヤーから水平に吊り下げられた長さ6 フィート (1.8 m)の木製の棒で作られたねじり天秤で構成されており、両端にそれぞれ直径 2 インチ (51 mm)、重さ 1.61 ポンド (0.73 kg)の鉛球が 2 つ取り付けられていました。別々に吊り下げられた、直径 12 インチ (300 mm)、重さ 348 ポンド (158 kg)の巨大な鉛球 2 つは、小さな球から8.85 インチ (225 mm)離れた位置、または左右どちらかに配置することができました。^{[ 9 ]}この実験では、小さな球と大きな球の間の微弱な重力による引力を測定しました。この引力により、ねじり天秤の棒は約 0.16 インチ (より硬い吊り下げワイヤーを使用した場合はわずか 0.03 インチ) たわみました。      

2つの大きな球は、ねじりバランス棒のどちら側にも、または反対側にも配置することができました。大きな球が小さな球に引き寄せられることで、アームが回転し、吊り下げワイヤーがねじれました。アームは、ワイヤーのねじり力が大小の鉛球間の重力による引力と釣り合う角度に達するまで回転しました。キャベンディッシュは、ロッドの角度を測定し、特定の角度におけるワイヤーのねじり力（トルク）を知ることで、質量のペア間の力を決定することができました。小さな球に対する地球の重力は、その重さを量ることで直接測定できたため、2つの力の比率から、ニュートンの万有引力の法則を用いて地球の相対密度を計算することができました。

キャベンディッシュは地球の密度が水の5.448 ± 0.033倍（ただし、1821年にフランシス・ベイリーによって発見された単純な計算ミスにより、誤った値）5.480 ± 0.038が彼の論文に現れる）。^{[ 10 ] [ 11 ]}現在受け入れられている値は 5.514 g/cm ³です。

ワイヤーのねじり係数、つまり特定のねじれ角に対してワイヤーが及ぼすトルクを求めるために、キャベンディッシュは、ワイヤーのねじれに逆らって天秤棒がゆっくりと時計回りと反時計回りに回転したときの、天秤棒の固有振動周期を計測した。最初の 3 つの実験では周期は約 15 分であったが、次の 14 つの実験では周期はその半分の約 7.5 分であった。周期が変わったのは、3 番目の実験の後、キャベンディッシュがより硬いワイヤーを入れたためである。ねじり係数は、これと天秤の質量と寸法から計算できた。実際には、棒は決して静止していなかった。キャベンディッシュは、棒が振動している間の棒のたわみ角を測定する必要があった。^{[ 12 ]}

キャベンディッシュの装置は当時としては驚くほど高感度だった。^{[ 10 ]}ねじり天秤をねじるのに必要な力は非常に小さく、1.74 × 10 ⁻⁷  N、^{[ 13 ]}（重量はわずか0.0177ミリグラム）または小さなボールの重量の約1 / 50,000,000である。 ^{[ 14 ]} 空気の流れや温度変化が測定に干渉しないように、キャベンディッシュは装置全体を幅約1.98メートル、高さ1.27メートル、厚さ14cmのマホガニーの箱に入れた。すべては彼の所有地にある閉鎖された小屋の中で行われた。小屋の壁にある2つの穴を通して、キャベンディッシュは望遠鏡を使ってねじり天秤の水平棒の動きを観察した。重要な観測対象はねじり天秤棒のたわみで、キャベンディッシュはこれを約0.16インチ（または主に使用されたより硬いワイヤーの場合はわずか0.03インチ）と測定した。^{[ 15 ]}キャベンディッシュは棒の両端にあるバーニアスケールを使用して、この小さなたわみを0.01インチ（0.25 mm）よりも高い精度で測定することができた。 ^{[ 16 ]} キャベンディッシュの結果の精度は、 1895年のC.V.ボーイズの実験まで超えられなかった。やがて、ミッチェルのねじり天秤は重力定数（G）を測定するための主要な手法となり、現代のほとんどの測定でもその変形が使用されている。^{[ 17 ]} 

キャベンディッシュの結果は、金属でできた惑星の核の存在を示す追加的な証拠となった。この考えは、1774年のシーハリオン実験の分析に基づいてチャールズ・ハットンが最初に提唱したものである。^{[ 18 ]}キャベンディッシュの結果は5.4 g·cm ^{− 3で、ハットンの結果より23%大きく、液体}鉄の密度の約80%に近く、地球の外殻の密度より80%高いため、高密度の鉄の核の存在を示唆している。^{[ 19 ]}

ニュートン重力を重力定数で定式化することは、キャベンディッシュの時代からずっと後になってから標準となった。実際、 Gへの最初の言及の1つは、キャベンディッシュの研究から75年後の1873年のものである。^{[ 20 ]}

キャベンディッシュは地球の密度という観点から結果を表現した。彼は書簡の中で自身の実験を「世界の重さを量る」と表現した。後世の著者は彼の結果を現代的な用語で再定式化した。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

${\displaystyle G=g{\frac {R_{\text{earth}}^{2}}{M_{\text{earth}}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{earth}}\rho _{\text{earth}}}}\,}$

SI単位に変換すると、地球の密度のキャベンディッシュ値5.448  g  cm ⁻³は、

G =6.74 × 10 ⁻¹¹  m ³  kg ^–1  s ⁻²、^{[ 24 ]}

これは2014年のCODATA値とわずか1％しか違いません。6.67408 × 10 ⁻¹¹  m ³  kg ⁻¹  s ⁻²。^{[ 25 ]} 今日、物理学者は重力定数が異なる形式をとる単位をよく使用する。宇宙力学で使用されるガウス重力定数は定義定数であり、キャベンディッシュの実験はこの定数の測定とみなすことができる。キャベンディッシュの時代、物理学者は質量と重量に同じ単位を使用し、事実上gを標準加速度として扱っていた。当時、_地球のRが既知であったため、_地球のρは逆重力定数の役割を果たした。そのため、地球の密度は当時非常に求められていた量であり、 1774年のシーハリオン実験など、以前にもそれを測定しようとする試みがあった。

以下はキャベンディッシュが用いた方法ではないが、現代の物理学者が彼の実験結果をどのように計算するかを示している。^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}フックの法則によれば、ねじりワイヤーにかかるトルクはたわみ角に比例する。${\displaystyle \theta }$バランスの。トルクは${\displaystyle \kappa \theta }$どこ${\displaystyle \kappa }$はワイヤーのねじり係数です。ただし、質量の重力によって反対方向のトルクも発生します。これは、大きな球が小さな球に及ぼす引力と、吊り下げワイヤーまでの距離 L/2 の積として表すことができます。2 つの球があり、それぞれが天秤の軸から距離⁠ L / 2 ⁠の位置で力Fを受けているため、重力によるトルクはLFです。平衡状態 (天秤が角度で安定しているとき) では、${\displaystyle \theta }$) 、この 2 つのトルク源が釣り合うため、トルクの総量はゼロでなければなりません。したがって、上記の式で与えられるそれらの大きさを等しくすることができ、次のようになります。

${\displaystyle \kappa \theta \ =LF\,}$

Fについては、ニュートンの万有引力の法則を用いて、大小の球間の引力を表す。

${\displaystyle F={\frac {GmM}{r^{2}}}\,}$

上記の最初の式にFを代入すると、

${\displaystyle \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

ねじり係数を求めるには（${\displaystyle \kappa }$ワイヤーの）を用いて、キャベンディッシュはねじり天秤の固有共振周期Tを測定した。

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}}$

ねじり梁自体の質量は無視できると仮定すると、天秤の慣性モーメントは小さな球体のみによるものとなる。それらをそれぞれ軸からL/2の位置にある点質量として扱うと、次のようになる。

${\displaystyle I=m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}=2m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{2}}\,}$、

など：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,}$

これを解決する${\displaystyle \kappa }$（1）に代入し、Gについて整理すると、次の結果が得られる。

${\displaystyle G={\frac {2\pi ^{2}Lr^{2}\theta }{MT^{2}}}\,}$。

Gの値が求められれば、地球表面にある物体が地球自体に及ぼす引力を用いて、地球の質量と密度を計算することができる。

${\displaystyle mg={\frac {GmM_{\rm {earth}}}{R_{\rm {earth}}^{2}}}\,}$

${\displaystyle M_{\rm {earth}}={\frac {gR_{\rm {earth}}^{2}}{G}}\,}$

${\displaystyle \rho _{\rm {earth}}={\frac {M_{\rm {earth}}}{{\tfrac {4}{3}}\pi R_{\rm {earth}}^{3}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\rm {earth}}G}}\,}$

• キャベンディッシュのファインマン物理学講義における実験
• 地下室での横向き重力実験、『市民科学者』、2005年7月1日。自家製キャベンディッシュ実験。結果の計算方法と、風や静電気による誤差を排除するために必要な予防措置を紹介。
• 「Big 'G'」、Physics Central、2013年12月8日取得。ワシントン大学で行われた、キャベンディッシュ法の変形を用いて重力定数を測定する実験。
• ワシントン大学Eöt-Washグループ。「ニュートンの万有引力定数をめぐる論争」 。 2016年3月4日にオリジナルからアーカイブ済み。2013年12月8日に取得。Gの測定の現状について議論する。
• ヘンリー・キャベンディッシュのねじり天秤重力測定装置の模型、1798年、2026年2月10日取得、サイエンス・ミュージアム・グループ。