コーシー・オイラー方程式

最も一般的なコーシー・オイラー方程式は2階方程式であり、極座標でラプラス方程式を解く場合など、多くの物理学および工学の応用で現れます。2階コーシー・オイラー方程式は^{[ 1 ] [ 2 ]です。}

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.}$$

試行解を仮定します^{[ 1 ]}$${\displaystyle y=x^{m}.}$$

微分すると$$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}}$$そして$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m\left(m-1\right)x^{m-2}.}$$

元の式に代入すると、次のことが必要となる。 $${\displaystyle x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)+ax\left(mx^{m-1}\right)+b\left(x^{m}\right)=0}$$

式を整理して因数分解すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle m^{2}+\left(a-1\right)m+b=0.}$$

次にmについて解く。注目すべきケースは3つある。

• 2つの異なる根m1とm2_の場合のケース1 。
• ケース2：1つの実数重複根mの場合。
• 複雑な根のケース 3、α ± βi。

ケース1の場合、解決策は$${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}}$$

ケース2の場合、解決策は$${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}}$$

この解に到達するには、1 つの解y = x ^mを見つけた後、次数低減法を適用する必要があります。

ケース3の場合、解決策は $${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))}$$$${\displaystyle \alpha =\operatorname {Re} (m)}$$$${\displaystyle \beta =\operatorname {Im} (m)}$$

のために${\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} }$。

この解の形式は、x = e ^tと設定し、オイラーの公式を使用することによって導出されます。

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0}$$

変数置換は以下のように定義されます。

$${\displaystyle t=\ln(x).}$$$${\displaystyle y(x)=\varphi (\ln(x))=\varphi (t).}$$

微分すると $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {d\varphi }{dt}}}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {d\varphi }{dt}}\right).}$$

代入${\displaystyle \varphi (t)}$微分方程式は次のようになる $${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d\varphi }{dt}}+b\varphi =0.}$$

この方程式は${\displaystyle \varphi (t)}$特性多項式によって解かれる$${\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}$$

さあ${\displaystyle \lambda _{1}}$そして${\displaystyle \lambda _{2}}$この多項式の2つの根をそれぞれ と で表します。根が異なる場合と、根が重複する場合を分析します。

根が異なる場合、一般解は$${\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t},}$$ここで指数関数は複素数になる可能性がある。

根が等しい場合、一般解は$${\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}$$

どちらの場合も、解決策は${\displaystyle y(x)}$設定することで見つけることができます${\displaystyle t=\ln(x)}$。

したがって、最初のケースでは、$${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}},}$$そして2番目のケースでは、$${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}$$

2階コーシー・オイラー方程式は線形微分演算子を用いて表すことができることに注目してください。${\displaystyle L}$として$${\displaystyle Ly=(x^{2}D^{2}+axD+bI)y=0,}$$どこ${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$そして${\displaystyle I}$は恒等演算子です。

上記の演算子を多項式として表すと、${\displaystyle xD}$、 それよりも${\displaystyle D}$積の法則により、$${\displaystyle (xD)^{2}=xD(xD)=x(D+xD^{2})=x^{2}D^{2}+xD.}$$それで、$${\displaystyle L=(xD)^{2}+(a-1)(xD)+bI.}$$

次に、二次方程式の解の公式を用いて、この演算子を線形項に因数分解します。具体的には、${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$（おそらく等しい）値を表す$${\displaystyle -{\frac {a-1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}.}$$それから、$${\displaystyle L=(xD-\lambda _{1}I)(xD-\lambda _{2}I).}$$

これらの要素は交換可能であることがわかります。${\displaystyle (xD-\lambda _{1}I)(xD-\lambda _{2}I)=(xD-\lambda _{2}I)(xD-\lambda _{1}I)}$したがって、${\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}$の解決策${\displaystyle Ly=0}$は、それぞれの解の線形結合である。${\displaystyle (xD-\lambda _{1}I)y=0}$そして${\displaystyle (xD-\lambda _{2}I)y=0}$これは変数分離法によって解決できます。

実際、${\displaystyle i\in \{1,2\}}$、 我々は持っています${\displaystyle (xD-\lambda _{i}I)y=x{\frac {dy}{dx}}-\lambda _{i}y=0}$。 それで、$${\displaystyle {\begin{aligned}x{\frac {dy}{dx}}&=\lambda _{i}y\\\int {\frac {1}{y}}\,dy&=\lambda _{i}\int {\frac {1}{x}}\,dx\\\ln y&=\lambda _{i}\ln x+C\\y&=c_{i}e^{\lambda _{i}\ln x}=c_{i}x^{\lambda _{i}}.\end{aligned}}}$$したがって、一般解は次のようになります。${\displaystyle y=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}}$。

もし${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}=\lambda _{2}}$その代わりに、${\displaystyle (xD-\lambda I)^{2}y=0}$。 させて${\displaystyle z=(xD-\lambda I)y}$そうすれば、$${\displaystyle (xD-\lambda I)^{2}y=(xD-\lambda I)z=0.}$$以前と同様に、${\displaystyle (xD-\lambda I)z=0}$形式は${\displaystyle z=c_{1}x^{\lambda }}$ということで、解決すべき問題は$${\displaystyle (xD-\lambda I)y=x{\frac {dy}{dx}}-\lambda y=c_{1}x^{\lambda }.}$$次に、方程式を次のように書き換えます。$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}-{\frac {\lambda }{x}}y=c_{1}x^{\lambda -1},}$$これは、統合因子を介して解決可能であると認識できる。

選ぶ${\displaystyle M(x)=x^{-\lambda }}$を積分因子として、方程式に を掛けます。${\displaystyle M(x)}$そして左辺を積の導関数と認識すると、次の式が得られます。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{-\lambda }y)&=c_{1}x^{-1}\\x^{-\lambda }y&=\int c_{1}x^{-1}\,dx\\y&=x^{\lambda }(c_{1}\ln(x)+c_{2})\\&=c_{1}\ln(x)x^{\lambda }+c_{2}x^{\lambda }.\end{aligned}}}$$

与えられた $${\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}$$ 単純な解x ^mを代入します。 $${\displaystyle x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)-3x\left(mx^{m-1}\right)+3x^{m}=m\left(m-1\right)x^{m}-3mx^{m}+3x^{m}=\left(m^{2}-4m+3\right)x^{m}=0\,.}$$

x ^mが解となるためには、 x = 0 （自明な解を与える）か、 x ^mの係数がゼロである必要があります。二次方程式を解くと、m = 1, 3となります。したがって、一般解は次のようになります。 

${\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}$