制御NOTゲート

コンピュータサイエンスにおいて、制御NOTゲート（C-NOTまたはCNOTとも呼ばれる）、制御Xゲート、制御ビット反転ゲート、ファインマンゲート、または制御パウリXは、ゲートベースの量子コンピュータの構築に不可欠な要素である量子論理ゲートです。ベル状態のエンタングルとデエンタングルに使用できます。任意の量子回路は、CNOTゲートと単一量子ビット回転の組み合わせを使用して任意の精度でシミュレートできます。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}このゲートは、1986年に量子ゲート図の初期の表記法を開発したリチャード・ファインマンにちなんで名付けられることがあります。 ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

CNOTはパウリ基底で次のように表現できます。

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I_{1}-Z_{1})(I_{2}-X_{2})}.}$

ユニタリかつエルミートであるため、CNOT は次の性質を持つ。${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$そして${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(IU)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(IU)}}$、そしてそれは退化的である。

CNOTゲートは、回転演算子ゲートと正確に1つの2量子ビット相互作用ゲートの積としてさらに分解できます。

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).}$

一般に、任意の単一量子ビットユニタリゲートは次のように表現できます。${\displaystyle U=e^{iH}}$ここで、Hはエルミート行列であり、制御されたUは${\displaystyle CU=e^{i{\frac {1}{2}}(I_{1}-Z_{1})H_{2}}}$。

CNOTゲートは、古典的な可逆計算でも使用されます。

CNOTゲートは、2つの量子ビットからなる量子レジスタで動作します。CNOTゲートは、最初の量子ビット（制御量子ビット）が の場合に限り、 2番目の量子ビット（ターゲット量子ビット）を反転します。${\displaystyle |1\rangle }$。

もし${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$両方の量子ビットに対して許容される入力値は のみである場合、CNOT ゲートの TARGET 出力は古典的なXOR ゲートの結果に対応します。 CONTROL を固定すると、${\displaystyle |1\rangle }$CNOTゲートのTARGET出力は、古典的なNOTゲートの結果を生成します。

より一般的には、入力は線形重ね合わせであることができる。${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$CNOTゲートは量子状態を変換します。

${\displaystyle a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }$

の中へ：

${\displaystyle a|00\rangle +b|01\rangle +c|11\rangle +d|10\rangle }$

CNOTゲートの動作は、行列（置換行列形式）で表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

CNOTゲートの最初の実験的実現は1995年に達成された。ここでは、トラップ内の単一のベリリウムイオンが使用された。2つの量子ビットは、光状態とトラップ内のイオンの振動状態にエンコードされた。実験当時、CNOT操作の信頼性は90%程度と測定された。^{[ 6 ]}

通常の制御NOTゲートに加えて、任意の数n +1個の量子ビットを入力として受け取る関数制御NOTゲート（n +1は2以上）（量子レジスタ）を構築することができる。このゲートは、最初のn個の量子ビットを入力として組み込み関数が1を返す場合に限り、レジスタの最後の量子ビットを反転する。関数制御NOTゲートは、Deutsch–Jozsaアルゴリズムの重要な要素である。

計算上の観点からのみ見ると${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$C _NOTの動作は、同等の古典ゲートに似ているように見える。しかし、一方の量子ビットを制御、もう一方をターゲットとラベル付けするという単純な方法は、両方の量子ビットのほとんどの入力値で実際に起こることの複雑さを反映していない。

CNOTゲートをアダマール変換基底に関して表現することで、洞察が得られる。${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$1量子ビットレジスタのアダマール変換基底^{[ a ]}は次のように与えられる。

${\displaystyle |+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ),\qquad |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ),}$

そして、2量子ビットレジスタの対応する基底は

${\displaystyle |++\rangle =|+\rangle \otimes |+\rangle ={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )}$、

など。この基底で CNOT を見ると、2 番目の量子ビットの状態は変化せず、1 番目の量子ビットの状態は、2 番目のビットの状態に応じて反転します。（詳細は下記参照。）「このように、この基底では、どのビットが制御ビットで、どのビットがターゲットビットであるかの意味が反転しています。しかし、変換自体は全く変更されておらず、ただその考え方が変わっただけです。」^{[ 7 ]}

「計算」的基盤${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$は Z 方向のスピンの固有基底であり、一方、アダマール基底は${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$これは、X 方向のスピンの固有基底です。X と Z および量子ビット 1 と 2 を入れ替えると、元の変換が回復します。」^{[ 8 ]}これは CNOT ゲートの基本的な対称性を表しています。

C _NOT相互作用において両方の量子ビットが（等しく）影響を受けるという観察は、量子もつれ系における情報フローを考察する際に重要である。^{[ 9 ]}

C _NOTゲートの一般的な応用例は、2つの量子ビットを最大限にエンタングルさせることです。${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ベル状態。これは、超高密度符号化、量子テレポーテーション、および量子もつれ暗号アルゴリズムの構成要素の一部を形成する。

建設する${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$_{C NOT}ゲートへの入力A（制御）とB（目標）は

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )_{A}}$そして${\displaystyle |0\rangle _{B}}$。

C _NOTを適用した後、結果として得られるベル状態${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$個々の量子ビットは任意の基底を用いて測定でき、常に各状態に解決される確率が50/50であるという性質を持つ。事実上、個々の量子ビットは未定義の状態にある。2つの量子ビット間の相関は、2つの量子ビットの状態を完全に記述するものである。もし両者が同じ基底を用いて両方の量子ビットを測定し、結果を比較すれば、測定値は完全に一致するだろう。

計算基底の観点から見ると、量子ビットAが量子ビットBに影響を与えているように見える。しかし、視点をアダマール基底に移すと、対称的な方法で量子ビットBが量子ビットAに影響を与えていることがわかる。

入力状態は、別の見方をすれば次のように表すこともできます。

${\displaystyle |+\rangle _{A}}$そして${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle +|-\rangle )_{B}}$。

アダマールの観点では、制御量子ビットとターゲット量子ビットは概念的に入れ替わっており、量子ビットBが反転すると量子ビットAは反転する。${\displaystyle |-\rangle _{B}}$C _NOTゲートを適用した後の出力状態は${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle ),}$これは以下のように示すことができる。

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle _{A}|+\rangle _{B}+|-\rangle _{A}|-\rangle _{B})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|0\rangle _{A}+|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}+|1\rangle _{B})+(|0\rangle _{A}-|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}-|1\rangle _{B}))}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )+(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle ))}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle ).}$

C-ROTゲート（制御ラビ回転）は、C-NOTゲートとほぼ同じですが、${\displaystyle \pi /2}$核スピンのz軸周りの回転。^{[ 10 ] [ 11 ]}

捕捉イオン型量子コンピュータ：

• シラック・ゾラー制御NOTゲート
• モルマー・ソーレンセン門

2024 年 5 月、カナダは、 34量子ビットを超える量子コンピュータの販売と、特定の CNOTエラー閾値以下のエラー率を課す輸出制限を実施し、さらに量子ビット数が多くエラー率が高い量子コンピュータにも制限を設けた。^{[ 12 ]}同様の制限は、英国、フランス、スペイン、オランダでもすぐに現れた。これらの国々は、この措置についてほとんど説明をしなかったが、いずれもワッセナー協定の加盟国であり、これらの制限は、量子暗号や競争からの保護を含む国家安全保障上の懸念に関連していると思われる。 ^{[ 13 ] [ 14 ]}

• トフォリゲート（制御制御NOTゲート）

• マイケル・ウェストモアランド：「量子力学における孤立と情報フロー」―C_否定ゲートに関する議論