ベルゲの均衡

ベルゲ均衡は、数学者クロード・ベルゲにちなんで名付けられたゲーム理論の 解の概念である。標準的なナッシュ均衡に似ているが、純粋な非協力的プレイではなく、ある種の利他主義を捉えることを目的としている。ナッシュ均衡は、戦略的ゲームの各プレイヤーが、他のプレイヤーの戦略を前提として個人的に最高の報酬を受け取ることを保証する状況であるのに対し、ベルゲ均衡では、各プレイヤーが他のすべてのプレイヤーが可能な限り最高の報酬を受け取ることを保証する。ベルゲはこの均衡の概念を1957年に直感的に導入したが、正式に定義されたのは1985年にウラジスラフ・イオシフォヴィチ・ジュコフスキーによってであり、ベルゲが最初に開発してから半世紀も経ってからようやく広く使用されるようになった。

ベルジュ均衡は、クロード・ベルジュの1957年の著書『人間のゲーム一般理論』で初めて紹介されました。^[1]ムーサ・ラルバニとウラジスラフ・イオシフォヴィッチ・ジュコフスキーは、この本のアイデアがロシアで広く使われなかったのは、1961年にロシア語に翻訳されて間もなく厳しい批評を受けたためであり、また、この本はフランス語とロシア語でしか印刷されていなかったため、英語圏でも使われなかったと書いています。^[2]これらの説明は他の著者によって繰り返されており、^[3]ピエール・クルトワらは、この本の影響力は、経済の例が不足していることと、当時の経済学者にはあまり馴染みがなかったであろうグラフ理論のツールに依存していることによって弱まった可能性が高いと付け加えています。 ^[4]

ベルゲは独自の均衡概念を直感的な言葉でのみ導入し、ベルゲ均衡の最初の正式な定義は1985年にウラジスラフ・イオシフォヴィッチ・ジュコフスキーによって発表されました。^[5]その後、ベルゲ均衡のテーマは、コンスタンチン・セメノビッチ・ヴァイスマンによって1995年の博士論文で詳細に研究され、^[6]ラルバニとジュコフスキーは、プレーヤーが全体的に好ましい均衡を求め、他のプレーヤーの報酬に価値を付ける傾向がある可能性のあるますます複雑なシステムに経済学者が興味を持つようになったため、2000年代半ばにこのツールがより広く使用されるようになったと文書化しています。^[2]コルマンらは、ベルゲ均衡への関心を、協力ゲーム理論、協力の進化、進化ゲーム理論における利他主義などのトピックへの関心と結び付けています。^[5]

正規形ゲーム を考えます。ここで はプレイヤーの集合、はプレイヤー の（空でない）戦略集合で、 はプレイヤーの効用関数です。戦略プロファイルを と表記し、不完全戦略プロファイル と表記します。戦略プロファイルは、任意のプレイヤーと任意のに対してを満たす場合、ベルジュ均衡と呼ばれます。^[7]${\displaystyle G=\langle N,S_{i},u_{i}\rangle }$${\displaystyle N=\{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i\in N}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle s=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})\in S}$${\displaystyle s_{-i}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{i-1},s_{i+1},\ldots ,s_{n})}$${\displaystyle s^{\ast }\in S}$${\displaystyle i\in N}$${\displaystyle s_{-i}\in S_{-i}}$${\displaystyle u_{i}(s_{i}^{\ast },s_{-i})\leq u_{i}(s^{\ast })}$

ゲーム中のプレイヤーがベルジュ均衡を行っているとは、あるプレイヤーが自分の選んだ戦略を固守し、他のプレイヤーの何人かが戦略を変えてもプレイヤーの利得が増加しないような戦略プロファイルを選んだ場合である。つまり、ベルジュ均衡におけるすべてのプレイヤーは、ベルジュ均衡戦略を実行している他のすべてのプレイヤーに対して可能な限り最高の利得を保証する。これは、各プレイヤーが自分の戦略から得られる利得を最大化することのみに関心を持ち、他のプレイヤーはプレイヤーが得る利得を気にしないナッシュ均衡とは対照的である。^[5]${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

ラルバニとジュコフスキー（2017）による次の囚人のジレンマゲームを考えてみましょう： ^[2]

このゲームのベルジュ均衡は、両方のプレイヤーが「協力」を選択する状況です。これを と表記します。各プレイヤーは戦略を切り替えることによってのみ他のプレイヤーの報酬を下げることができるため、これはベルジュ均衡です。どちらかのプレイヤーが「協力」から「裏切り」に切り替えると、他のプレイヤーの報酬は 20 から 5 に下がるため、ベルジュ均衡にあるはずです。 ${\displaystyle (C,C)}$

まず、ベルゲ均衡はナッシュ均衡ではないことに注意してください。これは、行のプレイヤーまたは列のプレイヤーのどちらも、「協力」ではなく「裏切り」に切り替えることで、自分の報酬を 20 から 25 に増やすことができるためです。 ${\displaystyle (C,C)}$

この囚人のジレンマゲームのナッシュ均衡は、両方のプレイヤーが「裏切り」を選択する状況であり、これを と表記します。この戦略の組み合わせでは、行プレイヤーに 10 の報酬が、列プレイヤーに 10 の報酬が与えられ、どのプレイヤーも自分の報酬を最大化するために戦略を切り替える一方的なインセンティブを持ちません。ただし、はベルジュ均衡ではありません。行プレイヤーは戦略を切り替えて列プレイヤーに 10 ではなく 25 の報酬を与えることで、列プレイヤーの報酬を高くすることができ、列プレイヤーも行プレイヤーに対して同じことを行うことができるからです。 ${\displaystyle (D,D)}$${\displaystyle (D,D)}$

したがって、ベルゲ均衡の協力的な性質は、相互裏切りの問題を回避する。この相互裏切りの問題により、囚人のジレンマはナッシュ均衡の推論が相互に最適でない結果を生み出す可能性があるという悪名高い例となっている。^[8]

ベルゲ均衡はナッシュ均衡の正反対として考えられており、ナッシュ均衡が利己的な行動をモデル化するのに対し、ベルゲ均衡は利他的な行動をモデル化する。^{[9]ムーサ・ラルバニとウラジスラフ・イオシフォビッチ・ジュコフスキーは、ベルゲ均衡は戦略的相互作用における}黄金律を形式化する方法として解釈できると指摘している。^[2]

ベルゲ均衡がナッシュ均衡よりも優れている点の1つは、ベルゲの結果が実験心理学や実験経済学から得られる結果とより一致する可能性があることである。何人かの著者は、実験室のシナリオで囚人のジレンマや最後通牒ゲームのようなゲームをプレイするよう求められたプレイヤーがナッシュ均衡の結果に到達することはめったにないと指摘している。その理由の1つは、現実の状況では人々はしばしば他人の幸福に価値を置くため、ベルゲ均衡が特定の状況での実際の行動により適している場合があるからである。^{[5] [4]}

ベルゲ均衡の使用上の課題は、ベルゲ均衡はナッシュ均衡ほど強い存在特性を持たないが、追加の条件を加えることでその存在を保証することができることである。^[10]ベルゲ均衡解の概念は、ナッシュの存在定理の条件を満たさずナッシュ均衡を持たないゲーム、例えば無限戦略セットを持つ特定のゲームや、純粋戦略の均衡が望まれるが純粋戦略プロファイルの中にナッシュ均衡が存在しない状況にも使用できる。^{[2] [11]}