ベイズ探索理論

ベイズ探索理論は、ベイズ統計学を紛失物の探索に応用したものです。これは、例えばUSSスコーピオンなどの紛失した船舶の発見に何度か使用されており、2009年のエールフランス447便墜落事故におけるフライトレコーダーの回収にも重要な役割を果たしました。また、マレーシア航空370便の残骸の捜索にも使用されました。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

通常の手順は以下のとおりです。

1. その物体に何が起こったのかについて、できるだけ多くの妥当な仮説を立ててください。
2. それぞれの仮説について、物体の位置に関する確率密度関数を作成してください。
3.  物体が実際に位置Xにある場合、その位置Xを捜索した際に実際に物体が見つかる確率を表す関数を作成してください。 海洋捜索の場合、これは通常、水深の関数となります。浅瀬では、捜索場所が適切であれば物体が見つかる可能性が高くなります。深海では、その可能性は低くなります。
4. 上記の情報を整合性をもって組み合わせ、全体的な確率密度マップを作成します。（通常、これは2つの関数を掛け合わせるだけで済みます。）これにより、考え られるすべての位置Xについて、位置Xで物体を見つける確率が得られます。（これは確率の等高線マップ として視覚化できます。）
5. 最も確率の高い地点から開始し、確率の高い領域、次に中程度の確率の領域、最後に確率の低い領域を「スキャン」していくような探索経路を構築する。
6. 探索中は、すべての確率を継続的に修正します。例えば、位置 Xに関する仮説が物体の崩壊を示唆しており、位置 Xでの探索で破片が見つからなかった場合、物体がその付近にある確率は大幅に減少します（ただし、通常はゼロにはなりません）。一方、他の場所にある確率はそれに応じて増加します。この修正プロセスは、ベイズの定理を適用することによって行われます。

言い換えれば、まず最も発見される可能性の高い場所を探し、次に発見される可能性が低い場所を探し、さらに可能性がさらに低い場所（燃料、航続距離、海流などの制約により、まだ発見の可能性はある場所）を探し、許容できるコストで物体を発見できる見込みがなくなるまで探し続ける。

ベイズ法の利点は、利用可能なすべての情報が整合性をもって（つまり、情報漏洩を防ぐ形で）使用されること、そして、特定の成功確率に対するコストの推定値が自動的に算出されることです。つまり、探索を開始する前であっても、「5日間の探索で発見できる確率は65%です。10日間の探索後にはその確率は90%に、15 日間の探索後には97%に上昇します」といったように、仮説的な予測を立てることができます。このように、探索にリソースを投入する前に、探索の経済的実現可能性を推定できるのです。

USSスコーピオン以外にも、ベイズ探索理論によって発見された船舶には、海上で失われた英国最大の船舶であるMVダービーシャー やSSセントラルアメリカ などがある。また、1966年にスペインのパロマレスで発生したB-52爆撃機の墜落事故後に失われた水素爆弾の捜索^{[ 4 ]}や、大西洋で墜落したエールフランス447便の回収にも成功した。

ベイズ探索理論は、米国沿岸警備隊が捜索救助活動に使用する任務計画ソフトウェアであるCASP（コンピュータ支援捜索プログラム）に組み込まれている。このプログラムは後に、地形や地表被覆の要素を追加することで内陸捜索用に改良され、米国空軍および民間航空パトロール隊で使用されるようになった。

グリッドのマス目に難破船が存在する確率をpとし、そこに難破船が存在する場合にそれを検出できる確率をqとする。マス目を捜索しても難破船が見つからない場合、ベイズの定理により、マス目に難破船が存在する確率は次のように修正される。

${\displaystyle p'={\frac {p(1-q)}{(1-p)+p(1-q)}}=p{\frac {1-q}{1-pq}}<p.}$

他のすべてのグリッドマスについて、事前確率がrである場合、事後確率は次のように与えられる。

${\displaystyle r'=r{\frac {1}{1-pq}}>r.}$

この分野における古典的な著作である、メトロン社のローレンス・D・ストーン著『最適探索の理論』（アメリカオペレーションズリサーチ学会、1975年）は、 1975年にアメリカオペレーションズリサーチ学会のランチェスター賞を受賞した。

静止した物体が n 個の箱 (場所) のいずれかに隠されていると仮定します。各場所について${\displaystyle i}$既知のパラメータは 3 つあります: コスト${\displaystyle c_{i}}$1回の検索の確率${\displaystyle a_{i}}$対象物が存在する場合に、1回の探索で対象物を見つける確率、${\displaystyle p_{i}}$対象物が存在するという前提に基づき、探索者が対象物を探します。探索者は開始時点での事前確率を把握しており、探索が失敗するたびにベイズの定理を用いて確率を更新します。

最小期待コストでオブジェクトを見つける問題は、デイビッド・ブラックウェルによって解決された古典的な問題です。後に、デイビッド・アサフはブラックウェルの結果を複数のオブジェクトに拡張しました。^{[ 6 ]}最適なポリシーは次のとおりです。各段階で、最大化する場所を調べます。${\displaystyle {\frac {p_{i}a_{i}}{c_{i}}}}$これはギティンス指数の特殊なケースです。

• ベイズ推論– 統計的推論法 
• 探索ゲーム– 2人用ゼロサムゲーム 

• ストーン、ローレンス・D、『最適探索の理論』 、アメリカオペレーションズ・リサーチ学会発行、1975年
• ストーン、ローレンス・D.、「エールフランス447便の捜索」。オペレーションズ・リサーチ・アンド・マネジメント・サイエンス研究所、2011年。https ://www.informs.org/ORMS-Today/Public-Articles/August-Volume-38-Number-4/In-Search-of-Air-France-Flight-447
• 飯田浩二, 「最適探索計画に関する研究」、第70巻 、統計学講義ノート、シュプリンガー・フェルラーク、1992年。
• De Groot, Morris H.、『最適な統計的意思決定』、Wiley Classics Library、2004年。
• リチャードソン、ヘンリー R、ストーン、ローレンス D. 「スコーピオンの水中捜索における作戦分析」。海軍研究ロジスティクス季刊誌、 1971年6月、第 18巻、第 2号。海軍研究局。
• ストーン、ローレンス D. SSセントラルアメリカ号の探索：数学的宝探し。技術報告書、メトロン社、バージニア州レストン。
• Koopman, BO Search and Screening、Operations Research Evaluation Group Report 56、Center for Naval Analyses、Alexandria、Virginia、1946年。
• Richardson, Henry R; および Discenza, JH「米国沿岸警備隊のコンピュータ支援捜索計画システム（CASP）」。Naval Research Logistics Quarterly、第 27巻、第 4号、659～680ページ 、1980年。
• ロス、シェルドン M.、『確率的動的計画法入門』、アカデミック・プレス、1983年。